有限域上多项式的p-进与T-进指数和

The classical exponential sums associated with polynomials over finite fields are important studying objects in number theory. Proposed by Liu-Wan, the T-adic exponential sums are simulations of the classical exponential sums. With this tool, we study the classical exponential sums which including p-order and p-power order exponential sums of higher dimensional polynomials over finite fields. The main aim is to determine the p-adic and T-adic properties of the zeros of the corresponding L-functions. Firstly, we are going to determine the p-adic Newton polygons of L-functions associated to the p-power order exponential sums and the T-adic Newton polygons of the C-functions generically, and seek the relations between the p-adic and the T-adic Newton polygons, then answer some conjectures on T-adic exponential sums proposed by Liu-Wan. Secondly, under non-ordinary cases, by studying the p-adic and T-adic regular decompositions of exponential sums, which including the star decomposition, the boundary decopposition and so on, we hope to find relations (especially combination relations) among those generic Newton polygons in higher and lower dimensional cases. Finally, for some specific higher dimensional polynomials, we hope to give the T-adic Newton polygons of the corresponding C-functions precisely, thus determine the p-adic properties of the corresponding classical exponential sums precisely.

有限域上多项式的经典指数和是数论中的重要研究对象．T-进指数和是Liu－Wan提出的对经典指数和的一种模拟．借助该工具，我们研究有限域上高维多项式的经典p-阶及p的方幂阶指数和，目标是确定这些指数和相应的L-函数的零点的p-进与T-进性质, 从而解决Liu－Wan提出的关于T-进指数和的部分猜想．首先，对一般的p的方幂阶指数和，确定其L-函数的通用p-进牛顿折线；对T-进指数和，确定C-函数的通用T-进牛顿折线，并考查该通用p-进牛顿折线与T-进牛顿折线之间的关系．其次，在non-ordinary情形下，通过研究指数和的p-进与T-进正则分解，包括星分解与边界分解等，得到在高维情形与低维情形下通用牛顿折线之间的关系，尤其是组合关系．最后，对某些高维具体的多项式，希望精确给出相应的C-函数的T-进牛顿折线，从而精确确定其对应的经典指数和零点的p-进性质．

有限域上多项式的经典指数和是数论中的重要研究对象．本课题旨在通过研究有限域上多项式的经典指数和的模拟——T进指数和，研究有限域上多项式指数和的L函数。本课题成果如下：.1. 我们研究了有限域上一维洛朗多项式的经典的p-进和T进指数和. 对T进指数和的特征函数，我们得到了一个优于经典的下界——Hodge折线的精确折线，通用牛顿折线.这一结论证明了Liu-Wan的猜想对一维洛朗多项式成立.（附件一）.2. 我们研究了有限域上n维多项式的带扭的T进指数和，给出了带扭的T-进特征函数的牛顿折线的下界. 对一维多项式情形我们证明此时特征函数的牛顿折线在某些点具有一定的稳定性质，从而得到T进L函数的牛顿斜率的一些算术性质. 我们的结果推广了Liu-Wan以及Davis-Wan-Xiao的结论.（附件二）.3. 我们研究了立方数之和的连乘数的幂性质. 不同于以往Cilleruelo的思想，我们利用算术级数中的关于素数的某些结论得到立方数之和的连乘数不是powerful的，该结论推广了Gürel–Kisisel的工作.（附件三）.4. 通过一个伪除子链，对一类三次系统，我们给出n阶Liapunov常数的表示. 作为应用，我们研究了一类特殊系统的中心问题和等时中心问题，我们发现该系统在原点处有中心等价于第7个Liapunov常数为0，该系统在原点出不具有等时中心.（附件四）