p-进模形式与类域构作问题

The class fields construction problem is Hilbert’s twelfth problem. By reviewing one hundred years' history of Hilbert’s twelfth (open) problem, especially, by recalling Kronecker, Weber, Takagi, Stark, Gross, Darmon, Dasgupta, Hayes, Anglès, Pellarin and other predecessors’ outstanding contributions to this issue, we hope to give explicit constructions of class fields for totally real fields (or real quadartic fields) using Serre’s definitions of p-adic modular forms and Gross, Darmon’s ideas under this direction, that is, we present a new idea for solving Hilbert’s twelfth problem for totally real fields (or real quadratic fields) which will be based on p-adic modular forms.

类域构作问题即著名的 Hilbert 第 12 问题。通过回顾悬而未决的 Hilbert 第 12 问题的百年历程，特别是 Kronecker，Weber，Takagi，Stark，Gross，Darmon，Dasgupta，Hayes，Anglès, Pellarin 等前辈对这一问题的杰出贡献，我们希望借助 Serre 关于 p-进模形式的工作，建立相应 p-进模函数和椭圆函数，并依据 Gross，Darmon 等人的想法提出明确构作全实域（或实二次域）的类域的一种思路，即提出对全实域（或实二次域）这一重要情形用p-进模形式解决Hilbert第 12 问题的一种新的思路，并分析这一思路的可行性。

本项目执行期内，项目负责人根据研究计划和目标完成多项工作，在 p 进 Dedekind 和，带有拟周期 Euler 函数的 Apostol-Dedekind 和的互反公式，p 进 Arakawa-Kaneko-Hamahata zeta 函数 与 poly-Euler 多项式，Apostol-Bernoulli 多项式的两类封闭形式，Hurwitz-类 Euler zeta 函数的积分表达式和特殊值，超几何 Bernoulli 数和多项式 ，多重 Hurwitz–Lerch zeta 函数和多重 gamma 函数的 Jackson 积分，带有多项式指数的 Eisenstein 级数的同余式, 整体域剩余类环的独特单位，(S,{2})-Iwasawa 理论和 Genocchi 数对应的非正则素数以及 Artin 原根猜想等方面取得一系列成果。这些成果发表在美国 Journal of Number Theory，美国 The Ramanujan Journal 等数论方面国际著/知名学术期刊上，受到国内外同行的认可。执行期内项目负责人依托本项目的支持努力开展国际交流与合作，并多次受邀分别在中国，日本，韩国举办的学术会议上作报告。执行期内项目负责人每年承担本科生和研究生基础课教学256--320学时，教学效果良好，深受学生好评。同时，项目负责人正在培养本专业硕士研究生5名。另外执行期内，项目负责人为美国数学会（AMS）主办的《数学评论》数论方向十余篇论文认真写过短评。