多项式微分系统的定性分析与周期解分支

The second part of Hilbert's 16th problem is always one of the central problem in the qualitative theory of ODE's. However, it is still open even for n=2. Therefore, we study the weak Hilbert's 16th problem and the so-called local Hilbert's 16th problem, i.e., the cyclicity problem, which is closed related to center problem and integrability problem. In our subject, we will focus on studying some problems as follows. .(1) By means of concluding and computing by computer the expression of the Melnikov function near a center or a closed orbit of near Hamiltonian systems, we will study the number and relative position of limit cycles of the polynomial near-Hamiltonian system with small parameters, i.e., the weak Hilbert's 16th problem;.(2) We will study the upper or lower bound of the cyclicity of the center or focus in some planar polynomial differential systems with nonradical Bautin ideal, the so-called local Hilbert's 16th problem;.(3) By introducing Melnikov function to some impulsive polynomial differential systems or piecewise continuous polynomial differential systems, we will study periodic solution and its bifurcation of these systems; .(4) We will study the integrability and linearizability of some planar or 3D polynomial differential equations. Moreover, we will present some applications of the theory on the integrability and linearizability.

在微分方程定性理论中，Hilbert 第十六问题的第二部分一直是大家讨论的中心问题之一。然而，即使当n=2 时这个问题仍是悬而未决的。为此，我们转而研究弱Hilbert第十六问题和所谓的局部Hilbert第十六问题，即环性数问题，而中心问题与可积性问题又与此密切相关。因此，本项目将着重讨论下列问题：（1）理论推导并编程实现近哈密顿系统中心或（奇）闭轨附近的Melnikov 函数，从而具体研究某些带小参数的多项式近哈密顿系统在平面上出现极限环的个数及其相互位置关系即局部Hilbert第十六问题；（2）讨论带非基本Bautin 理想的平面多项式微分系统中心或焦点的环性数的上下界问题，即局部Hilbert问题；（3）对某些带脉冲或分段连续的多项式微分系统引入相应的Melnikov函数，并用以研究它们的周期解及其分支；（4）讨论二维与三维多项式微分系统的可积性与可线性化性问题，并给出某些应用。

Hilbert第十六问题是微分方程定性理论中的中心问题之一，其中第二部分讨论的是n次多项式微分系统极限环的最大个数H(n)及其相互位置关系。然而，即使当n=2时这个问题仍是悬而未决的，从而成为平面向量场理论中的一个经典问题。而可积性问题是平面向量场理论中的另一个经典问题，迄今对三次系统可积性的研究仍然没有解决。本项目主要研究的问题与上述两个问题密切相关。.本项目主要的研究内容和结果有：（1）可积性问题，改进和简化了关于Lotka-Volterra型微分系统可积性的某些结果；（2）哈密顿系统的极限环分支问题，给出了几类近哈密顿系统的极限环个数的结论，尤其是给出了三次哈密顿系统三阶幂零中心在三次多项式扰动下分支出极限环的个数；（3）可积系统的极限环分支问题，讨论了可积系统的幂零奇点的分类问题，并编程实现了阿贝尔积分（即讨论可积系统极限环分支的分支函数）的泰勒展开式的计算。.这些问题都是当前微分方程定性理论中的核心问题，并对现有理论提出了某些方面的改进，具有积极的理论意义与一定的实用价值。