一类非线性项含导数的色散方程Cauchy问题的调和分析方法

色散发展方程是一类描述自然界质量、能量守恒现象的数学模型。本项目研究一类非线性项含导数的色散方程Cauchy问题的适定性理论的低正则问题，例如KdV方程、导数Schr?dinger方程，系统地研究Bourgain空间方法失效的情形。利用频率二进制分解，将双线性估计分成四种频率局部化的双线性估计。失效的程度由指数的和对数的两种来度量，把失效的原因，按照四种频率局部化的双线性估计失效的程度分成四种子情形。针对每种情形研究相应的处理方法。通过研究，一方面，发展和完善Bourgain空间方法，建立新的空间框架，并研究多种方法的结合，如能量方法、光滑效应估计、Bourgain空间方法等；另一方面，解决这些情形中包含的具体问题或者揭示这些问题的本质，例如KdV方程、mKdV方程、5阶KdV方程的低正则问题，BO方程能量空间中的适定性问题等。

本项目主要研究非线性色散方程的解的低正则问题，尤其是Bourgain空间方法失效情形下，结合应用多种方法来研究相关问题，这些方法来源于不同的领域。项目完成地很好，完全达到了预期目标，并开拓了很多后续研究的问题。项目主要研究了加权型Bourgain空间与能量方法的结合，Strichartz估计与规范型方法的结合，取得的主要成果包括：BO-Burgers方程在能量空间中的无粘性极限问题，周期Schrodinger方程的无条件适定性，五阶KdV方程在能量空间中的整体适定性，3维Zakharov系统解的散射理论，这些结果都发表在国际一流杂志。