色散偏微分方程中的若干调和分析问题

Using harmonic analysis method to study dispersive partial differential equations is one of the most important areas in modern mathematics. In this project, we will study several harmonic analyasis problems which are motivated and arise naturally in the latest study of nonlinear dispersive equations, and their applications to PDE. These problems are not only theoratically important, but also with strong applications background. They consist of three parts: the first one is the mixed norm type Fourier restriction estimates. Based on the latest development on the Fourier restriction conjecture, we tend to study the mixed norm type Fourier restriction estimates for a class of hypersurface (e.g. parabola). The second one is bilinear oscillatory integral operators. We tend to combine the oscillatory integral methods and the theory of multilinear operators, to study the low regularity problem and scattering in the dispersive equations. The third one is theory of function space. We tend to study the atom-type Bourgain space Up and its applications.

应用调和分析的方法来研究色散偏微分方程中的问题是现代数学的一个核心领域。本项目主要研究从非线性色散方程的最新研究中所抽象出的若干调和分析问题，同时研究这些问题的解决在PDE中的应用，具有重要的理论意义和应用背景。这些问题包含三个方面：一是混合型范数的Fourier限制性估计，拟借助当前关于Fourier限制性猜想的最新方法，来研究一类超曲面（例如抛物面）上混合型范数的Fourier限制性估计；二是双线性振荡积分算子，拟把振荡积分技术与多线性算子理论结合起来，来研究色散方程的低正则问题和散射理论；三是函数空间理论，拟研究原子型的Bourgain空间Up及其应用。

色散偏微分方程的分析及应用是是现代数学的一个核心领域，聚集着一批世界顶尖的数学家。本项目聚焦于从非线性色散方程的最新研究中所抽象出的若干调和分析问题，这些问题与经典调和分析的重要问题，例如Fourier限制性猜想等，有紧密的联系。本项目主要研究了Fourier限制性估计以及应用这些新的结果来研究若干色散方程的散射理论，取得了重要的结果。这些结果包括：.1. 得到了最佳的弱型Fourier限制性不等式估计.2. 得到了几乎最佳的角平均Strichartz估计，并提出了一个端点问题.3. 应用这些不等式估计，对一类3D二次项色散方程/系统的散射问题提出了一个新的处理办法，得到了一系列重要结果。