多组分格子波尔兹曼方法的数值分析

The lattice Boltzmann method is a promising alternative to conventional numerical methods for simulating fluid flows and has proved especially effective for simulating incompressible flows in complicated geometries, and for exploiting massively parallel computer architectures. It is very simple for use and has its root in the kinetic theory. In spite of great successes, its implementation is often heavily based on experience. The goal of this project is to study the stability, convergence and convergence-rate of the lattice Botzmann method for multi-component fluids mathematically, which will be an extension of the applicant's previous results for common fluids. Such analyses will not only establish a solid mathematical basis for the method, it will also give some important hints for implementing the method. Because mathematical proofs can only be carried out when the method is precisely defined, we expect,through the proofs, to derive analytical formulae for the initial data of the distribution functions, to obtain a precise relation between the time step and spatial step, to gain some details of introducing the external forces into the method, and so on. These hints will reduce the dependence of the method on the experience considerably and thereby may make the method more rational.

格子波尔兹曼方法是一种基于动理学理论的计算流体方法，已被成功用于涉及到不可压流体的许多实际工程问题的数值模拟。尽管该方法已被用来获得了许多重要的结果，它的使用在很大程度上还依赖于经验。 本项目旨在从数学上严格分析多组分格子波尔兹曼方法的稳定性、收敛性以及收敛阶。它将基于我们已有的关于单组分方法的工作，这些工作已得到国际同行的广泛认可（本项目负责人于2013年在牛津大学举办的第十届介观方法国际会议（ICMMES2013）上做了大会的开场邀请报告）。与单组分模型相比较，多组分模型具有迥然不同的稳定性结构以及相当复杂的耦合碰撞项。这样的严格分析不仅能为该方法建立坚实的理论基础，也会为方法的具体落实给出重要的指导和启示。比如，可以给出分布函数初始值的解析公式、确立时间步长与空间步长的关系、指出如何把外力正确地纳入计算过程等。

经过四年的努力, 本项目组成功地完成了预期的目标。主要成果有：..1、研究了两组分格子波尔茨曼方法的线性化稳定性、数值解关于网格步长的渐近展开、外力的引入以及初值的选取。证明了相应的格子波尔茨曼格式收敛到Boussinesq方程组。证明是对两组分问题的，不过可以直接推广到多组分波尔茨曼方法。..2、利用上述渐进展开，对一般反应扩散方程的Robin边界条件，构造了两种全新的数值边界格式。在这种边界格式的基础上，成功地处理了两相对流扩散方程的介面问题。这类介面问题在传热、传质等工程领域具有广泛的应用。..3、首次运用Maxwell迭代分析了格子波尔茨曼方法与宏观方程的相容性。不同于以往的其它方法，Maxwell迭代具有逻辑清晰、无需引入非物理小参数等优点，同时可以展现格子玻尔茨曼数值解的许多重要特征。..4、对一般具有弯曲边界区域上的不可压Navier-Stokes方程的Dirichlet边值问题的格子波尔兹曼方法，运用Maxwell迭代构造了一类二阶单点边界格式。这种二阶单点格式在处理具有复杂边界或交界面的流动问题（如颗粒流）时非常有效、甚至具有不可替代的优势。..5、针对熵格子波尔兹曼方法（ELBM）在使用时在每个格点上必须求解一个非线性代数方程，我们获得了一个简单的近似求解公式。这个公式保证了分布函数的非负性，同时保持了数值解严格满足离散的H定理, 并极大地改善了熵格子波尔兹曼方法的有效性。更重要的，我们发现了一个可以刻画流场急剧变化的量。..在本项目的支持下，我们共完成学术论文18篇，其中3篇在投，15篇已发表在相关领域的11种知名国际刊物上，如JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS（3）, PHYSICAL REVIEW E（3）, COMMUNICATIONS IN COMPUTATIONAL PHYSICS（1）, PHYSICA A-STATISTICAL MECHANICS AND ITS APPLICATIONS（1），JOURNAL OF DIFFERENTIAL Equations（1）等。..在本项目的支持下，在清华大学有5位研究生取得了博士学位、1位取得了硕士学位，在中国工程物理研究院有1位研究生取得了博士学位。其中两位获得清华大学当年的优秀博士学位论文一等奖，一位获得中国工程物理研究院的优秀毕业生称号。