电子结构计算中的矩阵优化问题

This project will study a class of important and challenging matrix optimization problems arising from the density functional theory (DFT) for electronic structure calculations, which has been widely used in Condensed Matter Physics, Quantum Chemistry, Material Science and Life Science. One of the fundamental problems in DFT is solving a nonlinear eigenvalue problem - - - the Kohn-Sham (KS) equation. It is often solved iteratively by the self-consistent field (SCF) iteration by computing a sequence of linear eigenvalue problems. However, i) the convergence properties of SCF iteration are not yet clear; ii) The computational speed of the SCF iteration is normally slow. Since the KS equation corresponds to a matrix minimization problem with orthogonality constraints, we propose to analyze the convergence of the SCF iteration from the optimization point of view. Moreover, we plan to develop more efficient and robust optimization methods by overcoming the difficulties from the orthogonality constraints. In particular, subspace optimization techniques will be studied. As far as we know, it is a new direction to study electronic structure calculations by using optimization tools in the world, while in China little work has been done on this direction yet. Therefore, this project will help solve the important problems in electronic structure calculations.

本项目旨在研究电子结构计算中的一类重要又极富挑战的矩阵优化问题。电子结构计算是凝聚态物理、量子化学、材料科学、生命科学等领域的重要问题。密度泛函理论是研究电子结构计算问题的关键技术，而其中的核心问题为非线性方程组Kohn-Sham(KS)方程的求解。经典的自洽场(SCF)迭代方法是将KS方程的求解转化为一系列线性特征值问题。然而, 这种方法的缺陷在于：1) SCF迭代方法的收敛性质在理论上尚未清楚；2) SCF迭代方法的计算速度往往比较慢。由于KS方程对应于带有正交约束的矩阵极小化问题，因此，本项目将从优化的角度，研究SCF迭代方法的收敛性质；并将克服正交约束产生的困难，结合子空间技巧等优化技术，设计快速、高效、鲁棒的优化方法。目前国际上对于采用优化方法研究电子结构计算问题是一个比较新的方向，而国内这方面的研究还很少。因此，本项目的开展将有助于解决电子结构计算中的重要问题。

本项目旨在研究电子结构计算中的一类重要又极富挑战的矩阵优化问题。电子结构计算是凝聚态物理、量子化学、材料科学、生命科学等领域的重要问题。 密度泛函理论是研究电子结构计算问题的关键技术，而其中的核心问题为关于矩阵的非线性方程组 Kohn-Sham（KS）方程的求解。经典的自洽场（SCF）迭代方法是将KS方程的求解转化为一系列线性特征值问题。然而，前期已有结果在理论上 SCF方法的收敛性质尚未得到彻底解决。这种方法是否收敛，收敛条件如何等都是电子结构计算领域关心的重要问题。而在实际计算中，尽管对于很多特殊的问题 SCF 方法是收敛的，但它的计算速度往往比较慢，因此设计高效、快速且全局收敛的算法也是目前该领域亟待解决的一个问题。申请人目前取得的主要成果如下：（1）从能量泛函极小化问题出发，首次给出了SCF迭代方法收敛的一个充分性条件；（2）首次对该方法的局部线性收敛速度给出了理论上的刻画。（3）对 KS 方程的解与能量泛函极小化问题的局部解或全局解之间的关系给出了理论上的分析。同时证明了在能量泛函极小化问题的强局部极小点处， 它对应的电荷密度中所有的非零元素有一个一致的正数下界。（4）将矩阵形式的 KS 方程等价地描述成一个向量形式的不动点方程，从该向量形式的非线性方程组出发，给出了 SCF 迭代方法的一种全新的、更弱的收敛性条件。（5）通过对不动点方程的 Jacobian 矩阵的精确刻画，设计了两种近似牛顿求解算法，并对这两种算法的理论性质给出了详尽的分析研究。我们的研究成果对于解决电子结构计算中的理论问题具有重要的推动作用，同时对实际计算问题提供了新的处理方法。