齐次群上若干算子的有界性问题

齐次群是以n维欧氏空间为基础流形的幂零李群，其上具有某种伸缩结构和与之相适应的齐次范数，它包含了经典欧氏空间和Heisenberg群作为典型特例。与经典欧氏空间有本质不同的是，齐次群作为抽象群是非交换群，而且作为经典调和分析根基的Fourier变换，在一般齐次群上不再适用,研究齐次群上的调和分析问题需要新的思想和方法。另一方面，齐次群上的调和分析与数学、物理学中的许多分支，如多复变函数、偏微分方程以及量子力学等有着非常紧密的联系。因此，研究齐次群上的调和分析是一项具有重大理论意义和应用价值的工作。本项目主要研究齐次群上的若干算子的有界性问题，研究要点为：1.、齐次群上若干粗糙算子及其交换子的有界性；2.齐次群上的多线性算子的有界性；3.齐次群上的多参数Hardy空间理论，包括特征刻画、对偶空间及相关算子的有界性；4.上述问题的加权情形及推广和应用。

齐次群是以欧氏空间为基础流形的幂零李群，齐次群上的调和分析与数学、物理学中的许多重要分支都有着非常紧密的联系。本项目主要研究齐次群上若干算子的有界性及相关问题，获得的主要研究成果如下：1、证明了一类粗糙分数次积分交换子的向量值不等式，改进了已知结果；2、给出了乘积加权Hardy空间的原子分解，推广了经典结果；3、建立了齐型空间上的加权Hardy空间并证明了一类奇异积分算子在该空间上的有界性；4、建立了旗Hardy空间的原子分解刻画并给出应用；5、建立了欧氏空间上与两种不同伸缩相关联的加权Carleson测度空间理论；6、证明了齐次群上旗奇异积分的加权有界性；7、其他成果：(a) 建立了齐型空间上的（加权）弱Hardy空间的原子分解，证明了分数次积分算子的有界性和插值定理；(b) 证明了与复合算子相关联的Hardy空间可以连续嵌入到单参数Hardy空间中去；(c) 证明了与不同伸缩相关的Calderon-Zygmund算子的复合算子在加权Triebel-Lizorkin和Besov空间上的有界性；(d) 建立了非齐次旗Triebel-Lizorkin和Besov空间的Littlewood-Paley刻画，极大函数刻画和差分刻画。上述研究成果改进或者推广了已有的结果，丰富了齐次群上的调和分析理论，特别是奇异积分算子理论，也为进一步研究齐次群上的其他相关问题提供了重要的理论依据和基础。