量子环面上的函数空间

Quantum tori are fundamental examples in operator algebras and noncommutative geometry. Since a quantum d-torus is a deformation of the usual d-torus. It is thus natural to expect that quantum tori shares many properties with usual tori. This is indeed the case for differential geometry, as shown by the works of A. Connes and his collaborators. However, little is done regarding analysis. This project intend to develop the theory of function space on quantum tori, including Sobolev, Besov and Triebel spaces. Moreover, we plan to apply these theories to the variation problem on quantum tori.

量子环面是算子代数和非交换几何中的一个基本的研究对象。因为量子环面是经典环面的某种形变。因此可以期待经典环面上的许多结果可以推广到量子环面上来。A.Connes 和他的合作者们从几何的角度上研究了该问题。但是从分析的角度来研究量子环面的工作却极少。本项目旨在发展量子环面上的函数空间理论， 包括 Sobolev，Besov 和 Triebel 空间。此外，我们还计划将这些理论应用于量子环面上的变分问题。

量子环面是非交换几何中研究的一个基本对象。本项目的系统地研究了d维量子环面上的Sobolev, Besove 以及Triebel-Lizorkin 空间。这些空间在经典情形下都有着相应的对照。我们证明了这些函数空间的一些基本性质，包括这些空间的指标提升定理以及特别地对Sobolev 空间我们得到了Poincare型不等式。我们建立这些函数空间上的嵌入不等式，包括Besov 和Sobolev 嵌入定理。我们既得到了一般形式的Besov和Triebel-Lizorkin 空间的Littlewood-Paley型刻画，又同时得到利用Poison 半群、热半群以及差分形式的具体。这些结果在经典（交换）的情形下也是新的。利用Besov空间的差分刻画，我们能够将最近Bourgain-Brezis-Mironescu 以及 Mazya-Shaposhnikova 等人关于Besov 范数极限的工作推广到非交换的情形。我们研究了这些函数空间的内插问题，特别地我们显式的得到了Lp空间和Sovolev空间的K-泛函，这推广了Johnen 和 Scherer 经典的结果。最后，我们证明了这些函数空间上的完全有界傅里叶乘子不依赖于矩阵θ, 其中θ =0意味着我们能回到经典环面。这个结果说明量子环面函数空间的完全有界乘子等价于经典环面上的完全有界乘子。此外，我们还给出了Besov 空间上（完全）有界傅里叶乘子的一个简单刻画。.. 本项目是第一份系统地研究量子环面上分析的工作，主要结果将发表在Memoirs Amer. Math. Soc. 值得一提的是我们的研究不仅仅是简单地将经典的情况推广到非交换的情况，而是发展出一整套非交换框架下的傅里叶乘子的理论。这些结果为我们将来研究一般非交换半群上的分析提供了研究基础。此外，我们关于Besov空间的结果也会对非交换几何的发展有着潜在的影响。