非交换分析在量子信息中的应用

The noncommutative analysis is an emerging research field of functional analysis. It includes revolutionary notions such as operator space, quantum probability, and noncommutative harmonic analysis, etc. On the other hand, the quantum information theory becomes a hotspot of physics research. In recent years, a group of people realized that the noncommutative analysis can be strongly linked to the quantum information theory. It is a great discovery. Because the noncommutative analysis is not only applied as a powerful mathematical tool, but also brings a new way of thinking to the quantum information society. ..In this project, we will devote to the above line of research, i.e., the interdisciplinary research for noncommutative analysis and quantum information theory. We will focus on following two groups of problems: a) operator space theory and its applicants in the foundation of quantum theory; b) the links between quantum capacities and noncomutative analysis.

非交换分析是泛函分析新兴的一个研究分支。它包括了算子空间，量子概率以及非交换调和分析等研究方向。另一方面，量子信息是物理研究的一个热点领域。近年来，一些研究人员发现非交换分析与量子信息理论有着十分重要的内在的联系。这些联系表明，非交换分析不仅为量子信息的研究提供了强有力的数学工具，而且还启发了量子信息研究的新思路。..本项目涉及到非交换分析和量子信息的交叉研究。我们将重点关注下面两个方面的研究内容：a) 算子空间理论和它在量子理论中的应用；b) 非交换分析和量子通量的联系。

本项目的研究方向是非交换分析在量子信息中交叉应用。非交换分析同量子信息有着十分重要的内在联系。我们利用算子理论研究了多体/多输入/输出因果不等式的违反，得到了量子监视情况下量子集刻画以及有限维逼近；得到了量子态酉演化的量子α-保真度的极值以及取值区间及高斯态α-保真度的解析表达式；这些结果在量子信息基本理论中有着重要的应用。我们利用随机矩阵/自由概率理论研究了PPT平方猜想以及NPPT问题，证明了对于相互独立的量子态PPT平凡猜想成立。我们引入某种加权形式的非交换Lp空间，证明了其上的复插值理论，并且将该插值理应用于p-Renyi熵的刻画及相关熵不等式。此外，我们还利用Weingarten计算研究了有限自由概率，证明了正交群、酉群以及超八面体群等均满足某种正交性质；得到了自由独立的某类三角椭圆算子与任意算子之和的布朗测度，该结果在高维随机矩阵的特征值渐近估计中有重要应用。.该项目共资助博士研究生和硕士研究生各5名，其中5名已毕业。