Ricci流的Harnack不等式和Ricci孤立子及应用

Ricci 流是几何分析中非常有用的工具. 而Ricci流的 Harnack 不等式和 Ricci孤立子是Ricci流奇点分析的关键基础问题. 本项目,一方面, 研究Ricci流的Harnack不等式, 建立曲率无界的Harnack不等式,3-维闭流形上任意初始条件(无需曲率算子非负)的Harnack不等式, 以及与Ricci 流耦合的非线性热型方程的Harnack不等式. 另一方面,在Ricci孤立子上,首先研究推广型 Laplace特征值的上下界估计,以及与之相关的刚性定理.其次在Ricci 孤立子上,建立与带势的Poincare不等式关联的分裂定理. 然后,通过研究在Ricci孤立子上的调和函数（丛的截面），建立在Ricci孤立子上任意阶多项式增长的调和函数（丛的截面）所形成的空间维数估计. 最后在此基础上,探索解答Perelman 关于3维平稳 Ricci孤立子唯一性的公开问题.

黎曼流形的几何、拓扑性质和分类问题是微分几何学的中心课题之一。本项目主要是通过泛函分析、偏微分方程和Ricci流的方法来研究上述问题。主要成果体现在关于(Ricci流中)热型方程的各种类型的微分Harnack不等式及应用研究；关于黎曼流形上对数熵的单调性及其应用研究；关于光滑度量测度空间中的特征值、热核、格林函数、De Lellis-Topping类型不等式、梯度估计、分裂性质和刘维尔定理等问题研究；关于黎曼流形中平均曲率流解的延拓等问题研究；关于4-维完备收缩型Ricci孤立子的分类问题研究；关于Ricci 流下的曲率间隙估计、3-参数曲率算子凸性保持及其应用研究；关于黎曼流形上诸如与Ricci 孤立子相关的渐进体积比、势函数、Dirichlet 特征值的上下界估计等问题的研究。