近Kenmotsu流形的曲率与Ricci孤立子

In this project, by using tensorial analysis and moving frame methods together with some related theories and results of Lie algebra, we mainly investigate the curvature and Ricci solitons of almost Kenmotsu manifolds. We completely characterize the curvature and local classification of almost Kenmotsu manifolds under the conditions of local symmetry and conformal symmetry respectively. We aim to search some Lie groups of dimension 3 on which there exist almost Kenmotsu structures and study their local structure and classification problems. On the other hand, we discuss the existences and classifications of almost gradient Ricci solitons on almost Kenmotsu manifolds. We first consider the analogy of the well-known Goldberg's conjecture of complex geometry in the framework of almost Kenmotsu manifolds. The expected many results shall reveal deeply the relations between almost contact metric structure and the Ricci soliton, and certain interior geometric and topological properties of these manifolds.

本项目拟运用微分流形上的张量分析法和活动标价法并结合李代数中的相关理论与结果，研究近Kenmotsu流形的曲率与Ricci孤立子。一方面，完全刻画近Kenmotsu流形在局部对称和共形对称条件下的曲率与局部分类，寻找存在近Kenmotsu结构的3维李群并研究其局部结构和分类定理。另一方面，首次在近Kenmotsu流形上讨论近梯度Ricci孤立子的存在性及其分类问题，以及复几何中著名的Goldberg-猜想在近Kenmotsu流形上的对偶问题。项目预期研究结果将深刻揭示近切触度量结构与孤立子存在性之间的关系以及近切触度量流形许多内在的几何与拓扑性质。

近切触度量流形作为近Hermitian流形在奇数维流形的对应，在上世纪五十年代被提出来，随后立刻成为微分几何里的重要研究对象。特别是最近几十年来，许多学者从拓扑的、几何的或者分析的角度研究这类流形，提出并且解决了大量重要的问题。伴随着此领域内的一些重要结果越来越多，时至今日近切触几何逐渐成为微分几何里最热门的研究分支之一。本项目将此类流形作为主要研究对象，借助张量分析和几何分析方法深入讨论它们的几何结构和拓扑性质。. 本项目的主要研究结果是近Kenmotsu流形和近coKaehler流形的一些分类问题，推广了一些经典结果并且部分解决了一些公开问题。一方面，如果三维近Kenmotsu流形和近coKaehler流形满足一些对称条件，比如局部对称、Ricci算子是循环平行的，Ricci算子是eta-平行的等，我们完全刻画了其曲率张量并给出了这些流形的局部分类。我们首次给出了三维近Kenmotsu流形和C-近Kenmotsu流形上的Reeb向量场为极小向量场的充分必要条件。我们给出了满足两类零分布条件的近Kenmotsu流形在Ricci半对称下的分类并且推广了这类流形在黎曼半对称下的分类结果,证明了这两种对称与伪对称和拟弱对称之间的等价性。我们完成了三维近coKahler流形在满足循环平行Ricci张量或者调和曲率张量条件下的局部分类，推广了Perrone等人的相关结果。我们还讨论了共形平坦的维数大于三的CR-可积近Kenmotsu流形的分类问题。另一方面，我们证明了三维Kenmotsu流形上的Ricci孤立子与Yamabe孤立子之间的等价性。我们在三维Kenmotsu流形上研究了近梯度Ricci孤立子并给出了其局部刻画。我们发现了满足一类零分布条件的近Kenmotsu流形上的近梯度Ricci孤立子一定是刚性梯度Ricci孤立子。