对平面二次系统极限环数目的研究

Hilbert第16问题（后一半）是寻求平面n次多项式微分系统极限环个数与相互位置。由于问题的难度, 经过一个多世纪后, n=2的情形也没有完全解决。所以，人们将目标转到研究近可积系统的极限环数目上来。n=2时，可积系统有四类，其中Hamilton系统的情形已经完全解决，而其他三种情形则显得困难重重，只有一些零散的结果。本项目以此问题为目标，希望在我们以前工作的基础上，有方法和技巧的改进，争取在可逆系统和余维4的情形有一些系统的结果。

本项目关心的的环性问题是常微分方程定性理论方向的中心问题之一。首先，我们立足于考虑二次系统的环形，尤其是难度最大，结果最丰富的可逆系统的环形，证明两类系统环形为2的结论，结果发表在SCI（一篇JDE，一篇Nonlineaty）上，其中一类系统需要考虑非代数曲线积分，是本方向为数不多的有关非代数曲线积分的结果之一；其次，我们不拘泥于二次系统，考虑了一类四次系统的环形，得到环性为1的结论，结果已经被Transaction of AMS接受，其意义主要是要考虑超椭圆积分，而 超椭圆积分也属于经典的困难问题；最后，我们讨论了与环性问题相关的一些课题，如我们对一些Lienard方程，证明了代数极限环的存在性，回答了Libre和Zhang在Nonlineaty上提出的一个公开问题，结果发表在Nonlineaty上。总之，本项目进展顺利，所得结果丰富，实现了预期目标。