对若干超椭圆积分的零点个数的估计

The weaken Hilbert's 16th problem is to for fixed m and n, find the maximum Z(n,m) of the number of zeros of the Abelian integrals of all the possible polynomials 1-form ofdegree no more than n along all the possible closed algebraic curves of degree no more than n+1. When the associated algebraic curve is elliptic, the estimate of the number of zeros is linear depending on m, and when the associated algebraic curve is hyperelliptic, the estimate of the number of zeros is exponent, which is much weaker than the elliptic case. we will consider the number of zeros of some hyperelliptic integrals : for some special system of degree n, we expect to obtain the polynomial increment of the number of zeros; we expect to find new criterion to determine the number of zeros of Abelian integrals of some 1-form of low degree; we expect to obtain the Taylor expansion of Abelian integrals and use the Taylor expantion to estimate the number of zeros of Abelian integrals. We expect use this method to the case of non-algebraic curve integral.

弱化的Hilbert第十六问题是对固定的正整数m和n，寻找全体可能的n+1次闭代数曲线，全体m次1-形式的积分（Abel积分）零点个数的上界Z(n,m)．这个上界与平面多项式系统极限环得数目相关. 到目前为止，当代数曲线是椭圆曲线时，零点个数是线性增长的(关于m)，当代数曲线是超椭圆曲线时，已有的结果是指数增长的，与椭圆积分的结果相比弱很多,处理手法上也有很大的不同．本项目的目标是在我们已有的工作基础上，考虑几类超椭圆积分的零点个数估计，具体内容包括：对于一些较特殊的ｎ次系统，改进已有的结果，得到零点个数的多项式增长；寻找新的判定函数，给出一些次数较低的1-形式的积分的精确的零点个数；给出积分在中心处的泰勒展式，利用泰勒展式的系数来估计积分的零点个数，并给出几种应用，尤其是期望能应用一些非代数曲线积分的情形.

本项目主要考虑平面系统的定性性质，这是定性理论的中心问题之一，具体而言是考虑近可积系统带来的超椭圆积分的零点个数问题及相关问题。首先，我们对一些自治系统研究了其可积、可线性化性的充要条件。这些结果对于研究超椭圆积分在奇点附近的行为有重要意义，为进一步研究这些积分的零点个数打下了基础；其次，我们研究了几类积分（不仅包括超椭圆积分，而且包括一些由不连续系统带来的新积分），给出了其零点个数的上界估计，这些上界估计都是最佳的；最后，对于一些实际模型（如van de Pol方程、Navier-Stokes方程），研究了这些方程的定性性质，得到了一些具有实际意义的结果。总而言之，本项目进展顺利，得到了丰富的结果，符合预期目标。指标上，我们在以上三个方面均有文章发表，共计SCI论文12篇，《大学数学》2篇。