多复变中的正性

The concept of positivity can be viewed either in algebraic terms (ample, nef, pseudoeffective, etc.), or in more analytic terms (plurisubharmonic, Hermitian connections with positive curvature, positive current, etc.). The main purpose of this project is to study some problems related to the theme of positivity in several complex variables and complex geometry. We will focus on the following issues： vanishing theorems, Fujita conjecture and related problems, the splitting of vector bundles on projective spaces.

正性的概念既可以从代数角度考虑(丰沛，数值有效，拟有效等等)，又可以从解析方面看待(多次调和,正曲率的Hermitian联络，正流动形等等)。本项目主要研究多复变和复几何中与正性有关的问题。我们将重点研究以下三方面的问题：消没定理及其应用，Fujita猜想及其相关问题，射影空间上向量丛的分裂问题。

本项目聚焦于多复变与复几何领域与正性相关的基础前沿问题，在L2方法，奇点理论以及CR几何等一系列交叉问题上取得重要进展。我们研究了拟多次调和函数延拓问题和其反问题，证明了代数流形上上同调类的权函数在子流形上的连续延拓对应着这个同调类的凯勒正性，这给出了延拓存在的必要条件，对拟多次调和函数延拓问题的适用对象有了更深入的理解。复Plateau问题研究复欧式空间中的奇数维实子流形在什么情况下是复欧式空间中复子流形的边界。根据Harvey和Lawson的理论，CR流形是具有孤立奇点的正规Stein空间的边界，因此复Plateau问题的可以转化为奇点问题来研究。我们计算了强拟凸CR流形上CR向量丛的Kohn-Rossi上同调群，给出了一些判断奇点光滑的充分条件，并且在奇点是完全交的情形给出了复Plateau问题的解。复几何中刚性是非常重要的现象，我们研究了强拟凸CR流形间的CR映射的刚性问题。通过将CR几何的刚性转化为相应奇点的性质，利用孤立奇点的拓扑学性质，我们证明了当CR流形的Stein填充的奇点为嵌入维数不同的完全交孤立奇点时，相应的CR映射是平凡的。利用Kohn-Rossi上同调群，我们给出了非平凡CR映射不存在性的充分条件。经典的Kawamata-Viehweg 消没定理是Nadel消没定理的代数版本，利用乘子理想层的强开性猜想和乘子理想层的限制性质，我们得到了代数流形上更一般形式的Kawamata-Viehweg消没定理。相比于之前的结论，我们的结果对线丛的要求更低，即使对同样的线丛，我们对线丛上的度量的选取也更加灵活。