向量均衡问题解的最优性与连续性研究

This project is devoted to investigate the following issues on the vector equilibrium by using the theories and methods of convex analysis and set-valued and variational analysis. Firstly, Scalarization. The new nonlinear functions will be constructed. Several kinds of proper efficient solutions to vector equilibrium problem will be introduced and their scalarization theorems will be established. Secondly, Optimality conditions without derivatives. Separation theorems of convex sets and nonconvex separation theorems based upon the quasi-relative interior will be proposed. It will present the new alternative theorems of set-valued mappings, which will be used to establish the Kuhn-Tucker optimality conditions for vector equilibrium problems. Thirdly, Optimality conditions with tangent derivatives. The new (higher-order) tangent derivatives of set-valued mapping will be introduced, and their existences,properties and calculus rules will be studied, and we examine the optimality given by these introduced tangent derivatives; The optimality conditions to vector equilibrium problems in terms of the derivatives separation for objective function and constraint functions will be also derived. Finally, Continuity of approximate solutions. Under the assumptions of weaker or without monotonicity, the continuity of approximate solutions for vector equilibrium problems will obtained by employing the nonlinear scalarization functions; Under the conditions of without the information to solution mapping or weaker convexities, we establish the continuity of approximate solutions for vector equilibrium problems. According to the above four aspects, this project can deepen and enrich the theory and applications of vector equilibrium problems.

本项目旨在用凸分析及集值和变分分析的理论和方法,围绕向量均衡问题展开研究,主要研究内容包括:一是标量化.构造新的非线性函数,引入向量均衡问题各种真有效解的概念,并建立它们的标量化理论.二是不带导数的最优性条件.获得基于拟相对内部的凸集分离定理和非凸分离定理,给出集值映射新的择一定理,并用其建立向量均衡问题解的Kuhn-Tucker最优性条件.三是切导数型最优性条件.引入新的(高阶)切导数研究其存在条件、性质和演算规则,并用于建立集值向量均衡问题解的最优性条件;获得目标函数和约束函数导数分开形式的向量均衡问题的最优性条件.四是近似解的连续性.在削弱或不含单调性假设下,利用非线性函数获得向量均衡问题近似解的连续性;在不涉及解映射的信息或较弱凸性条件下,建立向量均衡问题解的连续性.本项目依此四方面内容为基础,提升和丰富向量均衡理论及应用的发展.

向量均衡是最优化领域研究的热点问题之一，本项目对向量均衡问题及其相关内容展开了研究，并在以下五个方面取得了一定的研究成果：一是研究了向量均衡问题近似解的最优性条件和标量化.利用一些广义次微分的性质，借助不同的方法，建立了向量均衡问题近似解的最优性刻画.借助一些非线性标量化函数，得到了向量均衡问题近似解的标量化定理，丰富了均衡问题近似解的性质；二是研究了几类非凸优化问题的对偶模型并得到了相应的对偶定理. 在一些条件下，建立了原约束优化问题的Wolfe型和Mond-Weir型对偶问题，得到了相应问题的弱对偶、强对偶和逆对偶定理，这些对偶定理揭示了原问题和其对偶问题之间存在着明确的对偶关系；三是对变分不等式问题的误差界和集优化问题近似解的连续性研究. 在混合强单调假设下，研究了Hilbert 空间中一个逆混合拟变分不等式的误差界，并利用广义剩余间隙函数得到了与误差界有关的一些结果. 利用径向距离函数，建立了关于严格上集序近似解的标量化定理，证明了参数集优化问题关于严格近似解集映射的上下半连续性；四是研究了供应链网络均衡模型的应用. 提出了一类多产品供应链网络均衡模型的严格有效性，并在单准则和多准则情形下分别得到了与其等价的向量变分不等式问题及其求解方法. 考虑了一类电子商务多产品竞争供应链网络均衡模型，建立了相应的等价互补模型，提出了一种改进的外梯度算法，并给出了一些数值算例论证了该模型和算法的有效性. 五是致力于研究支持向量机模型的推广和应用. 通过在已有的支持向量机模型中引入正则化项，提出了几类新的支持向量机模型，实现了结构风险最小化原则，提高了模型的分类性和鲁棒性. 设计了简单而高效的迭代算法，大多数数据集上的实验结果表明，所提出的几类模型在精度和效率方面与现有算法相比具有竞争力. 本项目的预期目标基本完成.