非光滑集值优化理论及其应用研究

项目主要内容包括：利用集值映射的连续选择函数是单值函数的特点，发展集值映射的广义梯度的概念，并用此概念讨论非光滑集值优化问题的最优性条件和对偶理论。 非线性标量函数是处理许多非凸优化问题的有力工具，通过非线性标量函数的特点，构造变动控制结构下的非凸分离定理，并用其研究变动偏好的集值优化问题解的特征及相关问题。借助变动偏好的集值优化理论讨论变动偏好的集值变分包含问题，进而讨论相关的向量平衡问题，因平衡问题是等价于不动点问题、鞍点问题、互补问题以及对策问题，由此将其应用于向量网络平衡问题，网络经济中的一些问题的研究。

非光滑集值优化问题是集值优化领域研究的热点问题之一，本项目一方面利用集值映射的连续选择函数是单值函数的特点，发展集值映射的方向导数的概念，并用此概念建立了集值优化问题真有效解的最优性条件和对偶理论； 另一方面，Morea-Rockafellar定理是研究非光滑集值优化理论的重要工具之一，本项目在较弱广义凸性条件下得到了集值映射关于真有效解的Morea-Rockafellar定理, 也即: 两个集值映射和的真有效次梯度可以表示成它们真有效次梯度的和，并将所得结果应用于建立约束集值优化问题真有效解在次微分形式下的最优性条件； 其次，本项目根据非线性标量函数的特点，建立了变动偏好的集值优化问题解的非线性函数刻画。最后，还建立了一些广义凸向量优化问题的最优性条件和对偶理论，并研究了集值优化与变分不等式解的等价性问题。本项的预期研究目标基本完成。