非线性扩散方程组的条件Lie-Bäcklund对称

We are mainly concerned with constructing conditional Lie-B?cklund symmetry method for evolution system and studying the separation of variables, the invariant subspace, the sign-invariant of nonlinear diffusion system due to conditional Lie-B?cklund symmetry. Firstly, the conditional Lie-B?cklund symmetry reduction theorem for evolution system will be proved. Secondly, it will be stated that studying the separation of variables or the invariant subspace of evolution system is right respectively equivalent to considering the system admitting of certain conditional Lie-B?cklund symmetry. Meanwhile, the classification for nonlinear diffusion system based on the corresponding conditional Lie-B?cklund symmetry will be presented. Thirdly, the classification of the first-order Hamilton-Jacobi sign-invariant for nonlinear diffusion system will be provided due to the second-order conditional Lie-B?cklund symmetry. Finally, the corresponding symmetry reductions for the obtained systems will be given and the behaviors of the resulting invariant solutions will also be discussed.. The results will in certain extent enrich symmetry group theorems and provide important infomations for interpreting some physical phenomena.

本项目拟构建用条件Lie-B?cklund对称对演化方程组进行对称约化的理论体系并用条件Lie-B?cklund对称方法研究非线性扩散方程组的分离变量、不变子空间和符号不变量。首先，证明可用条件Lie-B?cklund对称方法对演化方程组进行约化的约化定理。其次，证明研究演化方程组的分离变量和不变子空间分别等价于研究演化方程组允许某种条件Lie-B?cklund对称并分别用相应的条件Lie-B?cklund对称对非线性扩散方程组进行分类。然后，用二阶的条件Lie-B?cklund对称研究非线性扩散方程组的一阶Hamilton-Jacobi型符号不变量并对非线性扩散方程组进行分类。最后，对分类所得方程组用其允许的条件Lie-B?cklund对称进行约化得其不变解并分析解的性态。. 本项目的成果将在一定程度上丰富对称群理论，对解释某些物理现象提供重要参考。

条件Lie-Bäcklund对称方法是对条件对称方法和Lie-Bäcklund对称方法的双重推广。条件Lie-Bäcklund对称方法在研究二阶非线性扩散方程的分类和约化问题上是行之有效的。许多不能由古典对称方法和条件对称方法约化得到的解（包括瞬时源型解、多项式解、爆破解和周期解等）可通过条件Lie-Bäcklund对称约化得到。条件Lie-Bäcklund对称方法还给出了不变子空间、符号不变量以及分离变量的对称解释。非线性扩散方程组可用做描述自然界中广泛存在的扩散现象的数学模型。关于这类方程的对称所用研究方法包括了古典对称方法、条件对称（非古典对称）方法、势对称（非局域对称）方法、拟设方法、符号不变量方法和不变子空间方法等。.本项目构建了演化方程组的条件Lie-Bäcklund对称方法并研究了非线性扩散方程组的条件Lie-Bäcklund对称分类和约化问题。首先，给出了演化方程组条件Lie-Bäcklund对称的约化定理。证明了演化方程组允许条件Lie-Bäcklund对称可以确保将该偏微分方程组约化为常微分方程组。其次，运用条件Lie-Bäcklund对称方法研究了单个非线性扩散方程的分类和约化问题。与不变子空间相关的条件Lie-Bäcklund对称特征被确定给出并被用于研究非齐次非线性扩散方程和带源项及对流项的非线性扩散方程的分类问题。继而，通过相应的对称约化给出了所研究方程定义在不变子空间上的泛函广义分离变量解。然后，运用条件Lie-Bäcklund对称方法研究了非线性扩散方程组的分类和约化问题。与单个非线性扩散方程不变子空间、符号不变量相关的条件Lie-Bäcklund对称被推广至方程组情形并被用于研究非线性扩散方程组。最后，提出线性决定方程思想研究了非线性扩散方程组具一般形式的条件Lie-Bäcklund对称分类和约化问题。.约化定理的证明是演化方程组条件Lie-Bäcklund对称研究的理论基础。该定理具有普适性，适用范围不局限于二阶的2-分支非线性扩散方程组。多分支的非线性扩散方程组、三阶的KdV型方程以及四阶的薄膜型方程也可运用条件Lie-Bäcklund对称方法进行分类和约化。本项目的研究丰富了已有的对称群理论体系、拓宽了条件Lie-Bäcklund对称方法的应用领域并为后续半离散方程和全离散方程的条件Lie-Bäcklund对称研究提供了借鉴。