非线性扩散方程组的微分约束、条件（Lie-Bäcklund）对称和直接约化

Differential constraints of nonlinear diffusion systems are considered. We are mainly concerned with the following 4 topics: 1) The equivalence relation between differential constraint, conditional (Lie-Bäcklund) symmetry and direct reduction will be constructed in the case of evolution systems; 2) The method of invariant set and the theory of direct reduction for evolution systems will be presented and corresponding applications for nonlinear diffusion systems will be provided to study the classifications and reductions of first-order differential constraints and conditional symmetries of the considered systems; 3) The linear determining equation method for finding differential constraints of scalar evolution equations will be extended to consider evolution systems and the classifications and reductions of higher-order differential constraints and conditional Lie-Bäcklund symmetries of nonlinear diffusion systems will be studied by using this method; 4) The values for the order of the highest derivatives included in the differential constraints admitted by evolution systems will be provided.

本项目研究非线性扩散方程组的微分约束问题。首先，构建演化方程组的微分约束、条件（Lie-Bäcklund）对称和直接约化之间的等价关系；其次，建立演化方程组的不变集方法和直接约化方法理论并用其研究非线性扩散方程组的一阶微分约束和条件对称分类及约化问题；然后，将寻求单个演化方程微分约束的线性决定方程方法推广到演化方程组上并研究非线性扩散方程组的高阶微分约束和条件Lie-Bäcklund对称分类及约化问题；最后，给出演化方程组允许的非线性微分约束的阶数估计。

非线性扩散方程（组）可用做描述自然界中广泛存在的扩散现象的数学模型。对称群方法及其相关方法（包括古典对称方法、条件对称方法、Lie-Bäcklund对称方法、势对称方法、拟设方法、符号不变量方法和不变子空间方法等）在研究二阶扩散型方程（组）的分类和约化问题上是行之有效的。条件Lie-Bäcklund对称方法是对条件对称方法和Lie-Bäcklund对称方法的双重推广，该方法已被用于研究二阶非线性扩散方程的不变子空间、符号不变量以及分离变量等。条件Lie-Bäcklund对称约化的理论基石是所研究方程（组）与其允许的条件Lie-Bäcklund对称决定的不变曲面条件是相容的。本项目研究了非线性扩散方程（组）的条件Lie-Bäcklund对称、微分约束和直接约化。.. 首先，给出了研究演化方程组条件Lie-Bäcklund对称和微分约束的线性决定方程方法。在一定条件下将条件Lie-Bäcklund对称对应的非线性决定方程组线性化。进而，通过求解线性决定方程组可确定演化方程组允许的具一般形式的条件Lie-Bäcklund对称和微分约束。其次，运用线性决定方程方法研究了非线性扩散方程（组）的高阶微分约束和条件Lie-Bäcklund对称并对分类所得方程（组）进行了对称约化。然后，运用与一阶符号不变量相关的二阶条件Lie-Bäcklund对称研究了非线性扩散方程（组）的分类及约化。最后，将研究单个扩散方程的不变集方法推广至方程组情形并研究了非线性扩散方程组一阶微分约束和条件对称的分类和约化。.. 本项目的研究丰富了已有的对称群理论体系、拓宽了条件Lie-Bäcklund对称方法的应用领域并为后续高维方程（组）、半离散方程（组）和全离散方程（组）的条件Lie-Bäcklund对称研究提供了借鉴思路。