耦合非线性差分系统的动力学行为及其应用

In this project, we mainly study the dynamical behaviors of the coupled nonlinear difference systems, explore the new methods of research, develop new theory, and apply the theoretical results to the practical problems. For the case where the nonlinear term is superlinear, sublinear, or asymptotically linear, we define a suitable function space, establish an appropriate variational framework, to study the existence of periodic solutions and homoclinic solutions of the coupled nonlinear difference systems by using various minimax theorem in the critical point theory, generalized Nehari manifold approach, periodic approximation technique, and the properties of the spectrum of linear operators; to study the multiplicity of periodic solutions and homoclinic solutions of the coupled nonlinear difference systems by using Morse theory and Conley index theory. Numerical simulation is carried out to investigate the behaviors of the solutions of the system. We explore the orbital stability of the coupled nonlinear difference systems to fill the gap in this field, by adapting the ideas for studying the orbital stability of differential equations, we will overcome the technical difficulty caused by the discontinuity of the solutions. These results will be applied to some coupled nonlinear difference system models in physics, to provide theoretical guidance for the practical problems. We will emphasize the combination and the mutual penetration of these problems. Besides its theoretical significance, this research is also expected to have wide application as well.

本项目主要研究耦合非线性差分系统的动力学行为，探索新的研究方法，发展新的理论，并将理论结果应用于实际问题中。针对非线性项为超线性、次线性及渐近线性情形，通过定义合适的基本函数空间，建立恰当的变分框架，利用临界点理论中的各种形式的极小极大定理、广义Nehari 流形方法、周期逼近技巧以及线性算子谱的性质等，研究耦合非线性差分系统周期解、同宿解的存在性；利用Morse 理论及Conley 指标理论等研究耦合非线性差分系统的周期解、同宿解的多重性。通过计算机进行数值模拟，发现解的相关性态。借鉴微分方程轨道稳定性的研究方法，克服解的不连续性所带来的困难，探讨耦合非线性差分系统的轨道稳定性，填补这一领域的研究空白。将所得结果应用于一些物理中的耦合非线性差分系统模型，为实际问题提供理论指导。注重这些问题的相互结合，相互渗透。这项研究既具有重要的理论意义，又具有广阔的应用价值。

本项目通过定义合适的基本函数空间，建立恰当的变分框架，利用临界点理论以及线性算子谱的性质等，对耦合非线性差分系统的动力学行为进行了系统研究。对离散非线性薛定谔方程与φ-拉普拉斯差分方程的周期解与同宿解、非线性差分方程边值问题等方面进行了深入研究，探索了新的研究方法，完善了离散系统的变分理论，并将所得结果应用于实际问题中的非线性差分系统模型。具体如下：.首次利用临界点理论，得到具有局部次线性项的离散薛定谔方程的无穷多个同宿解的存在条件；通过新的分析技巧，证明了一类具有渐近周期位势的离散渐近线性薛定谔方程基态解的存在性。构造了一类具有饱和非线性项的离散耦合薛定谔系统的精确解；证明了一类更具一般性的硬势非线性薛定谔方程的离散孤立子的存在性及稳定性，并且为实验提供了理论依据。得到了三维空间下的KGS系统驻波解的存在性及轨道不稳定性。.利用临界点理论，得到了一类具有混合非线性项含有超前和滞后项的高阶φ_c-拉普拉斯差分方程以及φ_p-拉普拉斯差分方程周期解的存在性与多重性；针对不同的位势，得到了具有混合非线性项的φ-拉普拉斯差分方程同宿解的存在性与多解性，进而丰富了已有的结果。.利用变分方法，得到了几类二阶φ_c-拉普拉斯差分方程两点边值问题存在无穷多个正解的充分条件，我们发现非线性项在零点和无穷远处的合适振动行为起着重要作用。得到了一类二阶非线性离散耦合系统边值问题的两个分量都非零的解的存在性。另外，我们给出了一类耦合离散边值问题存在无穷多个正解的一些条件。