复单李超代数上的左对称超代数结构的研究

Left-symmetric algebras and superalgebras are of importance because of their roles in Lie theory, differential geometry and mathematical physics. This project is devoted to an investigation into the compatible left-symmetric superalgebras on simple Lie superalgebras over an algebraically closed field of characteristic zero. In particular, we discuss whether there exist compatible left-symmetric superalgebras on finite-dimensional simple Lie superalgebras over the field of complex numbers and give a classification of these left-symmetric superalgebras up to isomorphism.

左对称代数和左对称超代数的研究在李理论、微分几何及数学物理等领域都起着重要的作用。在本项目里，我们将讨论特征数为零的代数闭域上的单李超代数上的相容左对称超代数结构；特别地，我们将研究有限维复单李超代数上是否存在相容的左对称超代数结构，以及在同构意义下对这些左对称超代数进行分类。

通过该项目的实施，我们完成了所有的研究目标。第一、我们构造了复数域上有限维单李超代数A(0,1)上的三类左对称超代数，并研究了它们的性质；第二，我们证明了该李超代数上的带有右单位元的左对称超代数仅有这三类。这些结果已经整理成文(arXiv:1302.5776)，投稿评审中。更多地，我们还研究了某些李环簇的性质（发表于Asian-Eur. J. Math. 5 (2012) 1250051-1-11）以及广义左对称代数的上同调与形变理论(arXiv:1302.6291)。..通过该项目的支持，申请者还获得主持国家自然科学基金委青年项目（11301061，22万）及吉林省科技厅青年项目（20140520052JH，5万）各一项。申请者还获得了2014年韩国首尔国际数学家大会(ICM)的官方资助。