有限维Cartan型单李代数及单李超代数的模表示

Finite dimensional simple Lie (super)algebras of Cartan type over a field of prime characteristic are of a class of important ones. In contrast with classical ones, those Lie (super)algebras of Cartan type do not have symmetric algebraic structure. Until now, it seems that there has no complete representation theory. So, it should be further studied. We plan to use the"connection"theory of differential operator rings (which comes from differential geometry) and the theory of generalized restricted Lie algebras to estabilish the theory of C-module category for the four classes of modular Lie algebras of Cartan type. After that, we will further study their representation theory. With aid of the C-module category, we aim to get concrete descriptions of simple representations with p characters of high height. Moreover, we will systematically study partition of blocks,support varieties,Cartan invariants and so on which are concerned in modular representation theory. On the basis above, we will further apply this theory mentioned above and the theory of odd reflections to modular Lie superalgebras of Cartan type to study their modular representation theory, block theory, support varieties, Cartan invariants and so on. The study of this project will enrich modular representation theory of Lie algebras and Lie superalgebras. It will play an important theoretic role for further study of representation theory of Lie algebras and Lie superalgebras.

素特征域上有限维Cartan型单李（超）代数是一类重要的李（超）代数，与典型李（超）代数相比而言，Cartan型李（超）代数的代数结构没有很好的对称性，目前尚缺乏完备的表示理论,有待进一步深入的研究。本项目打算应用微分算子环的"联络"理论（来源于微分几何中的"联络"理论）以及广义限制李代数的理论，在四类Cartan型模李代数中建立C-模范畴理论，进而研究它们的表示理论, 目标是获得较高高度的p-特征函数所对应的不可约表示的具体刻画。同时就模表示理论中关心的Block分划、支柱簇、Cartan不变量等相关问题展开系统的研究。在此基础上，还进一步将这些理论以及"奇反射"理论应用到Cartan型模李超代数上，进而研究其模表示理论、Block 理论、支柱簇、Cartan不变量等。本项目的研究将充实李代数以及李超代数的模表示理论，对李代数及李超代数的表示理论的更进一步研究有重要的理论意义。

在素特征域上的有限维单李（超）代数的分类中，Cartan型李（超）代数是很重要的一类，他们的模表示理论是李理论的重要研究课题之一。 本项目在课题组已有工作的基础上，研究了Cartan型模李（超）代数的不可约（投射不可分解）表示的分类、Cartan不变量、Block的分化及相关的几何性质等。同时，对于一些典型李（超）代数及更一般的限制李（超）代数，研究了它们的表示理论。我们取得了如下一些主要结果：. （1）得到了Cartan型李代数具有较高高度p-特征函数的不可约表示的分类，以及广义限制Cartan型李代数和对应的限制Cartan型李代数的Cartan不变量之间的关系，将广义限制Cartan型李代数的射影表示约化到对应的限制李子代数的射影表示。. （2）给出了W型限制李超代数的限制不可约表示的维数公式，并证明了W型限制李超代数的限制表示范畴只有一个Block。决定了S、H型限制李超代数的限制不可约模的完全分类，给出了限制Baby Kac 模为单模的充要条件。进一步研究了非限制表示，给出了Baby Kac 模为单模的充分条件。. （3）研究了典型李超代数sl(1|n+1)的不可约表示，给出了Baby Kac模为单模的充分条件，对于sl(1|2)情形，完全分类了不可约表示，并计算了所有单模的维数。. （4）构造了基本典型李超代数对应的有限W超代数的PBW基，为后续研究不可约模的下界维数奠定了基础。. （5）研究了代数群李代数的广义约化包络代数的投射表示。给出了投射模，Baby Verma模及单模之间的互反律关系。 . （6）初步启动了Cartan型李代数的几何性质及几何表示的研究，我们在Witt代数情形给出了幂零轨道的分类，得到了有限域上幂零轨道的有理点的结构及相关的几何。研究了幂零交换簇的结构，证明了该簇是可约的。具体给出了不可约分支及维数。. 我们已全面地完成了预期的研究计划，本项目的研究对素特征域上李（超）代数表示理论的更进一步研究有重要的理论意义。