经典李（超）代数上Gelfand-Tsetlin模的分类和根系分次李超代数

The Gelfand-Tsetlin modules of the classical Lie (super) algebras are very important research objects in the representation theory of Lie (super)algebras. In addition, from C. Martinez and the Fields prize winner E. Zelmanov's paper about the classification of the type P root graded Lie superalgebras, we found that there was logical reasoning loop in their proofs of classifications. This project plans to study the following problems: first, we plans to give the complete classifications of the simple Gelfand-Tsetlin module with multiplicity of 1 over the classical Lie (super)algebras. Second, we will extend the type P root graded Lie superalgebras to more generalized case by added the negative odd roots, then use the Jordan system method to classified it, hence as a specific case we can get a rigorous classification of type P root graded Lie superalgebras. Third, we will use the effective methods which be given by Professor Yun Gao when he constructed the modules for the extended affine Lie algebras to give the Fermi-Bosic representations for the generized type P root graded Lie superalgebras which coordinated by the quantum torus.

经典李（超）代数上的Gelfand-Tsetlin模是李（超）代数表示论研究中非常重要的研究对象。另外我们在研读C. MartineZ 和菲尔兹奖得主E. Zelmanov 关于P型根系分次李超代数分类的文章中发现，他们给出的分类的证明过程存在循环论证的逻辑漏洞。本项目拟对以下几个问题进行研究：一、对经典李（超）代数上重数为1的单Gelfand-Tsetlin模给出完全分类。二、拟通过先添加P型李超代数根系中缺少的成对负根，对P型根系分次李超代数作出更广义的推广并利用Jordan系的方法给出其分类，进而作为特例获得P型根系分次李超代数的严密化分类。三、利用郜云教授在对扩张仿射李代数构造表示时引入的有效手段对坐标代数为量子环面的广义P型根系分次李超代数构造费米-泊松表示。

根系分次李代数由Berman和Moody提出，在分类扩张仿射李代数时扮演着非常重要的角色。Benkart和Elduque推广到了超的情形，并分类了A(m; n)、B(m; n)、 C(n)、 D(m; n)、 D(2; 1; \alpha)、 F(4)和 G(3)型根系分次李超代数。菲尔兹奖得主E. Zelmanov和Martinez介绍并“分类”了P型分次李超代数。我们在研读E. Zelmanov和MartineZ关于P型分次李超代数分类的文章发现，他们给出的分类证明过程存在循环论证的逻辑漏洞。 . 本项目我们已通过添加P型李超代数根系中缺少的成对负根，对P型根系分次李超代数作出了更广义的推广，并利用Jordan系的方法给出其分类，进而作为特例获得了P型根系分次李超代数的严密化分类。而且我们借鉴郜云教授在对扩张仿射李代数构造表示时引入的有效手段，对坐标代数为量子环面的广义P型根系分次李超代数构造出了它的费米-泊松表示。这些结果形成了2篇论文，其中一篇已被Frontiers of Mathematics in China接收。. 经典李（超）代数上的Gelfand-Tsetlin模是李（超）代数表示论研究中非常重要的研究对象。在研究这个课题的过程中，我们发现并构造了一类新的Hopf代数,它们可看作一般线性量子群的退化版本。我们研究了它的结构，发展了它的最高权表示理论。我们根据最高权分类了它的有限维单模，事实上由m+n-2个非负整数和任意两非零向量决定。特别地，对m=2和n=1的情形，对任意有限维单模给出了它的基的具体构造。对于任意的的m和n，我们通过退化量子群在C（q）^{m+n}的自然不可约表示，构造出了满足杨-巴克斯特方程的R-矩阵。由该R-矩阵我们构造了节点的拓扑不变量，它再现了著名的HOMFLY多项式。这些结果形成了多篇论文，目前已被Acta Mathematica Sinica, English Series发表一篇，被Advances in Theoretical and Mathematical Physics接收一篇。. 另注意到，退化量子群有非常有趣的结构和丰富的表示，在构造Yang-Baxter方程解和纽结不变量时有非常多应用。我们可以继续对B、C、D型展开研究。