一维动力系统的统计性质的研究

One dimensional dynamical system is an important research subject in the dynamical systems field, and the Palis conjecture is one of the most important problems. The aim of this project is to study the related statistical properities for a class of interval maps. We consider a class of interval maps which contains critical points with possibility different critical orders and discontinuities at critical points, and show that the existence of acip and give the estimates of mixing rates under a mild condition. We give a discription of the dynamical behavior from the statistical points, and obtain some ideas on the impact on the behavior of dynamics upon the different critical orders and discontinuities. Based on these results, we consider a family of interval maps and characterize the parameter which the corresponding map is with good statistical properites in the parameter space. These provide some foundations on the research of the Palis conjecture for interval maps with different critical orders.

一维动力系统是动力系统领域的一个重要研究方向，Palis 猜想是其中的一个.核心问题。本项目研究一类区间映射的Palis 猜想所涉及的统计性质。以一类具有不同单边.临界指数的临界点或者不连续点的区间映射为研究对象，考虑在对临界点的回复性以及临界值导数的增长性附加比较弱的条件下，研究该映射的绝对连续不变概率测度的存在性与混合率。从统计的角度较完整地刻化这一类动力系统的动力学行为，揭示不同的单边临界指数的临界点与不连续点对区间映射动力学行为的影响。基于这些研究，我们考虑某一类映射族中具有这些良好统计性质的映射所对应的参数在参数空间的分布，为证明一类具有不同单边临界指数的区间映射族的Palis 猜想提供必要的基础。

本项目主要研究一类区间映射的相关统计性质。以一类具有不同单边临界指数的临界点或者不连续点的区间映射为研究对象，考虑在对临界点的回复性以及临界值导数的增长性附加比较弱的条件下，研究该映射的绝对连续不变概率测度的存在性。我们也证明了该映射无游荡区间。我们也系统研究了一族Lorenz映射的分片线性化问题，对于一类正拓扑熵的Lorenz映射，通对该映射的重整化进行详细刻画，证明了该映射可以一致线性化。并且对线性化类型进行了分类：要么双Lipschitz，要么完全奇异。该项研究提供了三种不同的刚性结果：拓扑刚性、双Lipschitz刚性、拟对称刚性，并且发现双Lipschitz刚性与拟对称刚性依赖该类映射的组合与分析性质。