一维动力系统的随机稳定性

One dimensional dynamical system is an important research subject in the dynamical systems field, and stochastic stability is one of the most important problems. The aim of this project is to study the decay of correlation and stochastic stability for a class of nonuniform expanding interval maps. For a class of interval maps with ciritcal points and singularities (may with discontinuities at critical points and singularities), under a mild condition on the growth of the derivative on critical points and the recurrence of such orbits to the critical/singular set, we prove the existence and superpolynomial decay of correlations of an invariant probability measure which is absolutely continuous with respect to Lebsegue measure, and the strong stochastic stability. Furthermore, we study the Central Limit Theorem, almost sure invariant principles, and Large deviations for these nonuniform expanding dynamical systems. Based on these research, we develope the method to study the stochastic stability, and understand the relation between the decay of correlations, stochastic stability and the properties of critical orbits. We may obtain some insight into the interaction between critical points and singularities.

一维动力系统是动力系统领域的一个重要研究方向，随机稳定性是其中一个核心问题。本项目研究一类非一致扩张区间映射的关联衰减性以及随机稳定性。以一类具有临界点、奇异点、以及不连续点的区间映射为研究对象，考虑在对临界点的回复性以及临界值导数的增长性附加比较弱的条件下，研究该系统的绝对连续不变概率测度的超多项式关联衰减性，以及强随机稳定性。进一步考察该动力系统的中心极限定理、几乎处处不变原理以及大偏差等性质。希望通过上述研究，我们能够建立临界点轨道的性质与系统关联衰减性、随机稳定性之间的联系，丰富和发展一维动力系统的随机稳定性的研究方法，对临界点与奇异点的轨道的相互作用有新的了解。

本项目旨在研究一类非一致扩张区间映射的关联衰减性以及随机稳定性。我们按照计划书较好地执行了研究计划。对一类具有临界点、奇异点、不连续点的分片C^2区间映射，研究了该映射的绝对连续不变概率测度的存在性、超多项式的关联衰减性，以及随机稳定性等问题。进一步，证明该系统满足中心极限定理，几乎处处不变原理，以及超多项式大偏差估计。提出了一个新的关于临界值的导数增长性与临界点轨道的回复性相关的充分条件，改进了发表在著名期刊中的文献结果。具体如下：我们去掉临界值的导数超多项式增长这个假设也得到超多项式关联衰减性；我们的结果表明不需要假设所构造映射的不变密度h满足h^{-1} ∈ L^1仍然可以获得中心极限定理；我们所得的不变原理对所有的ρ ∈ (0,1/2)均成立，由此我们得到了先前结果更精确的几乎处处不变原理。我们还得到了超多项式的大偏差估计，并且不需要对临界值的导数超多项式增长的假定。此外还研究了间歇映射的run length函数的性质、具有中性不动点以及临界点区间映射的绝对连续不变概率测度的存在性以及关联衰减性、Lasota-Yorke凸映射的关联衰减性以及记忆损失等问题。