微分算子环上的机械化算法与应用研究

传统的交换代数上的符号计算在许多应用学科发挥着重要作用。但是，随着应用越来越广泛和深入，现有的符号计算无法满足与微分系统相关的复杂应用的要求。如正则完全系统的级数解；多维超几何微分方程的积分解。实际上，此问题可以通过在微分算子环上建立构造性的符号计算理论和算法来解决。近年来以欧洲为主的一些学者研究了相关微分算子环-Weyl代数Groebner基。本项目试图利用Weyl代数中消去法和完备化，并在申请者以前工作基础上，研究齐次Weyl代数的特征列理论和算法，并应用其求解Gauss超几何微分方程；同时实现良性基理论和算法在Weyl代数中的推广，建立符号计算中各种算法之间的联系，并解决Weyl代数左理想任一元素的唯一表示问题，这也是本项目的难点之一，另一难点是Weyl代数上特征列性质的讨论。该项目的成功实施，将对高级微分方程的求解或复杂微分恒等式的自动证明等提供新的方法，进一步加深符号计算的应用。

特征列一词来源于美国数学家J.F. Ritt. 1932 年在他的经典著作中给出了一种借助求素理想的特征列算法来求解微分多项式系统的方法.随后包括他的学生在内的许多学者在相关的领域作了大量重要的研究工作.基于Ritt 的思想, 吴文俊院士于1986 年提出了 Ritt —吴特征列方法,并被广泛地用在欧氏几何和微分几何的定理自动证明中，如今，无论是在多项式环还是微分多项式环中已经建立了相对完整的Ritt- 吴方法.虽然在交换环（微分代数和差分代数）中特征列理论得到了很好的刻画,可是相应的理论在非交换代数中鲜见.本项目考虑了算子代数—Weyl 代数中的Ritt —吴特征列方法理论和算法的推广.同时对相关的理论也进行了深入的研究.