基于特征列集及对称方法的求解偏微分方程问题机械化算法

Finding analytic solutions of partial differential equations (PDE) is a fundamental problems appeared in mathematics, information… etc many science fields. The study of the hard and challenge problem is steping into mechanical age.The symmetry and approximate solution method have complementary advantages for each other for solving PDE problems. The generalization and increasing efficiency of both methods is drawn significant attention of the researcher’s.. Our research has shown that the differential characteristic set method (Wu’s method of differential form) for differential polynomial system is being an efficient theoretical and algorithmic basis for the machanization of studying PDE symmetry and analytic method for solving PDE problem...In the application project, targeting on solving (exact and approximate) analytic solutions of PDE problems,we base on characteristic set method and our previous reseach to explore the mechanical algorithm for .(1) the classification and construction of the sub-algebra of the Lie algebra admitted by a PDE.and.(2) the decision problem of symmetry existence and properties of the Lie algebra admitted by a PDE without solving its determining equations..We base on symmetry method to investigate .(3)the symmetry classification method for a PDE initial and boundary problems (IBP) and symmetry paramater elimination term method to find exct solutions to the IBP of PDE. and .(4)the symmetry parameter expansion method and symmetry-decomposition hybrid method by combining symmetry method and decomposition method to find approximate analytic solutions to the IBP of a PDE. .. The problems(1)(2) provide qualitative properties of solution set of PDE and a guiding for solution style and group parameter slection to be used in (3)(4)..The prospective results: for all reseach problems,we realize and implement the corresponding mechanical algorithms and give the applications of the algorithms to mathematical physics and informatiom fields PDE problems...The scientific significances: The reseach will provide new technique and idea for analysis and solving analytic solutions to PDE problems; promote the efficiencies of utilizing symmetry,approximate solution method to PDE and developing the Wu’s method. . .The innovations:The efficient combination of symmetry method, analytic method and charateristic set method are distinguishing feature of the application project.The use of charateristic set technique and proposition of the method based on symmetry parameter for solivig IBP of a PDE are pioneering.

求解偏微分方程(PDE)问题是数学、信息等诸多领域的基础问题，其解析求解是难点和前沿课题,研究正在步入机械化时代.对称和(近似)解析方法的结合推广、优势互补，提高求解效率的研究倍受关注.特征列集方法(吴方法)为对称和解析解法的机械化实现提供算法基础.本项目旨在探索若干PDE的Lie代数和求解问题的机械化算法：A、基于特征列集方法的PDE拥有Lie代数的子代数分类及构造、对称存在性和Lie代数性质判定等问题的机械化算法;B、基于对称方法的求解PDE初边值问题的对称分类和群参数消元精确解法、群参数展开和对称-分解混合近似解析解法.A的研究为解的定性、形式判定和群参数选择提供构造性理论指导,是B的基础.预期:获得相应的机械化算法及其数理、信息领域典型PDE问题上的应用;为PDE问题研究提供新算法模型和思路.吴方法,对称及解析方法的结合是特色;特征列集计算技术的采用和群参数法的提出是创新点.

本项目中基于微分形式吴方法（特征列集方法），我们研究了求解偏微分方程(PDE)对称方法及其应用相关的一些理论和算法问题，取得了学术创新成果，达到了预期目标，在人才培养、学科建设、国内外交流等多方面取得了丰硕的成果。.(1)给出了能够确定PDE拥有各类(含无穷维)Lie代数(对称)的算法及其实现。在此基础上，给出了PDE拥有无穷维Lie代数在其内同构群下的有限维子代数分类算法。把求解无穷多个群不变解的问题转化为求解有限等价类的代表问题，提高了求不变解效率。我们给出了2D-耦合薛定谔方程组的无穷维Lie代数及子代数分类，对此类PDE用其无穷维对称求解提供了新方法[A1-A4,D1]。.(2)给出了确定PDE拥有有限维Lie代数的同构像的算法。该算法避免了传统算法中求解大规模确定组的过程，把PDE拥有Lie代数的代数结构的构造问题完全归结到抽象Lie代数的框架内，从而解决了PDE对称性质预先判定问题，提高了确定对称的效率[A1]。.(3)建立了PDE拥有经典和非经典对称的内在联系。由此，我们给出了判定PDE拥有非经典对称存在性的算法。这个算法为克服确定PDEs非经典对称的难度提供了新的方法和思路，并解决了有关PDE非经典对称存在性的一个公开问题[A4,B1,B2]。.(4)构造了广泛的重要非线性数学物理方程的新精确解和近似解。这些解中的部分解可以用于PDE初边值问题，从而有效解释重要的物理现象[B1-B5,2,9,11，17]；基于单参数连续变换群的性质设计和实现了一个求解微分方程初值问题近似解析和数值解的群参数展开法，并在一些物理方程求解中得到成功应用。.(5)研究了一类超Lie代数和C*-代数结构，获得了代数同构、C*-迹逼近性等新的理论结果。不仅成为本课题基础，也是研究基于广泛代数结构的求解PDE新方法的可借鉴结果[18-22]。.(6)给出了基于吴方法和Groebner基方法的求解一类交通流(信息)分配模型的符号算法，旨在辅助数值求解提高其精度。这是在交通信息领域问题的研究中引入符号计算、吴方法等新型算法的初步尝试，对交通数据预处理、模型优化等方面有一定参考价值[B8-B10]。.技术路线上采用了把研究问题通过形式转化（如，确定组化为多项式组）到吴方法框架内，再用吴方法处理的独创思路，课题成果对对称方法的进一步研究发展和有效应用有促进作用。