Poisson几何与高阶李理论

Courant代数胚是Poisson几何中的热点研究对象之一，在广义复几何、拓扑量子场等许多领域都有重要应用。李2-代数是李代数的范畴化，由于其在弦论、多辛几何中的应用，最近受到广泛研究。这两者之间有着密切的联系，Courant代数胚的截面就给出一个李2-代数的结构。.我们首先研究半直积型李2-代数的积分问题以及李2-代数的扩张问题，特别的给出string型李2-代数以及omni-Lie代数的积分。然后用这些高阶李理论中的结果来研究Poisson几何中Courant代数胚的可积性。Courant代数胚的积分可以提供广义复结构的全局对称，必将对广义复几何产生巨大的推进作用。其次我们研究李2-代数的同态的积分问题，将一个李代数到一个李2-代数的同态积分成无穷维李2-群之间的同态。我们最后会研究高阶李双代数、高阶Yang-Baxter方程的理论，及其相关应用。

本人严格按照项目的计划书来执行该项目。积极参加国内外学术会议，与国内外同行专家认真交流，同时在吉林大学举办学术会议，邀请国内外专家前来讲学，了解国际前沿科研动态。在该项目的资助下，本课题组取得了丰硕的成果，主要有：.1.在高阶结构方面，给出了半直积型李2-代数的积分以及李2-代数的同态的积分;刻画了李2-代数的形变以及非交换扩张;研究了李2-代数的范畴化。.2.在Poisson几何方面，研究了李代数胚形变理论;用正和序列刻画了double向量丛;建立了Leibniz 2-代数与twisted Courant代数胚的关系。.3.在hom-李代数方面，建立了hom-Lie代数的表示理论并以此研究了hom-Lie代数的双代数理论;给出了hom-Lie代数的范畴化并建立了其和hom-左对称代数以及辛hom-李代数的联系。