线性抛物方程的脉冲时间最优控制问题

In this project, we will study impluse time optimal control problems for linear parabolic equations. Impulse control is a kind of frequently used controls in daily life and practical applications. The main purpose of this project is to establish the bang-bang property for time optimal controls, and then, to make a further deep study on optimal time and optimal control through utilizing bang-bang property of time optimal controls. The bang-bang property may be obtained by combing maximum principle and unique continuation. The bang-bang property is an important property of time optimal controls. Studies on this property is significant from perspective of mathematical theory and applications.

本项目拟开展关于线性抛物方程脉冲时间最优控制问题的研究。脉冲控制是日常生活和实际应用中常用到的一种控制形式。本项目主要是希望得到相应时间最优控制的bang-bang性；然后，利用最优控制的bang-bang性对最优时间与最优控制进行更深入的研究。前者可能通过最大值原理与唯一延拓性得到。Bang-bang性是时间最优控制的一个重要性质，对它的研究不仅有理论意义而且也有应用背景。

本项目一方面开展了耦合热方程脉冲控制的约束逼近零能控性的研究，其中控制作用在空间区域的内部，给出了一些易于验证的判别条件；另一方面，对一类半线性热方程的脉冲时间最优控制问题与范数最优控制问题进行了研究，得到了最优控制的存在性、建立了这两个问题的最大值原理、时间最优控制的bang-bang性、建立了时间最优控制问题与范数最优控制问题的等价性；并且，对一类线性发展方程的脉冲时间最优控制问题进行了研究，得到了时间最优控制的存在唯一性、bang-bang性、最优时间与最优控制关于控制上界以及脉冲时刻的连续依赖性。. 其次，对定义在全空间上的带有界位势项（与空间变量、时间变量均有关）的热方程建立了能观性不等式。. 最后，对发展方程的时间最优控制问题进行了探讨，包括：容许控制与时间最优控制的存在性、时间最优控制问题的最大值原理、几类最优控制问题的等价性以及时间最优控制的bang-bang性。