几类椭圆型方程波峰解的存在性及性态研究

In this project, we would like to use the variational method, the critical point theory and Pohozaev identity to study some nonlinear elliptic equations. The project manily wants to study the following problems. First, under variatonal structure, we combine the thoery of nonlinear analysis and the method of construction to consider the multi-peak solutions of quasi-linear Schrodinger equation. Then, we combine the Pohozaev identity and equations to study the local uniqueness of the fractional Schrodinger equation, and then we analyze the structure and properties of solutions. At last, under the condition of the different potential function or geometry structure, we consider the segregated and synchronized vector solutions of the elliptic system, which a branch of the solution concentrated in the origin. The main method in this project is the finite dimensional reduction method widely used at present which needs to combine the Pohozaev identity and the theories of regularity and prior estimates. The above metioned problems have profound background which is of great significance in quantum mechanics and fluid mechanics. In this project, we intend to carry out research in these aspects and hope to make significant progress.

本项目拟将变分法，临界点理论与Pohozaev 恒等式有机地结合起来对几类非线性椭圆型方程中一些问题进行深入的研究。本项目主要考虑下列三个问题，第一，是在变分框架下采用非线性泛函分析的理论结合构造解的方法来研究拟线性偏微分方程的多峰解。其次，用局部的 Pohozaev 恒等式结合方程来考虑分数阶椭圆型方程多峰解的局部唯一性，对解的结构和性态进行研究。最后，考虑椭圆型方程组在位势函数满足不同条件或者不同几何结构的情况下解的存在性，其中一个解分量集中在原点，另外的解分量同步和分离的情况。主要方法是拟应用目前应用广泛的有限约化方法和 Pohozaev 恒等式结合偏微分方程中的正则性理论和先验估计。以上列举的问题在量子力学和流体力学等物理研究中有重要意义。本项目拟开展这方面的研究并期望取得有意义的进展。

本项目拟将变分法，临界点理论与Pohozaev 恒等式有机地结合起来对几类非线性椭圆型方程中一些问题进行深入的研究。本项目主要考虑下列三个问题，第一，是在变分框架下采用非线性泛函分析的理论结合构造解的方法来研究拟线性偏微分方程的多峰解。其次，用局部的 Pohozaev 恒等式结合方程来考虑分数阶椭圆型方程多峰解的局部唯一性，对解的结构和性态进行研究。最后，考虑椭圆型方程组在位势函数满足不同条件或者不同几何结构的情况下解的存在性，其中一个解分量集中在原点，另外的解分量同步和分离的情况。主要方法是拟应用目前应用广泛的有限约化方法和 Pohozaev 恒等式结合偏微分方程中的正则性理论和先验估计。以上列举的问题在量子力学和流体力学等物理研究中有重要意义。本项目拟开展这方面的研究并期望取得有意义的进展。