变分方法与拟线性椭圆型方程解的存在性及性态研究

Quasilinear elliptic equations are branches of differential equations that has important practical application background. In recent years, local and foreign scholars have made some important achievements in the study of the existence of solutions of nonlinear elliptic differential equations. However, there are still many important and difficult issues to be studied and explored with regard to quasilinear elliptic equations,.such as the multiplicity of solutions, sign-changing solutions, concentration of solutions and so on. Especially because of the presence of quasilinear terms, making use of variational methods to solve this kind of problems has an essentially difficulties (such as the common working space, missing of smoothness and compactness of the energy functional corresponding to the equations), therefore, the theoretical study of quasilinear elliptic equations in turn is bound to be on pushing for in-depth research on variational method. This project explores and uses variational methods to study the variational framework of quasilinear Schrödinger-Poisson systems, quasilinear Kirchhoff-type equations and other quasilinear elliptic equations and the positive solutions, ground state solutions, sign-changing solutions and the concentration, convergence, multiplicity of solutions and so on, where the potential satisfies some suitable assumptions and the nonlinearities satisfy sublinear, asymptotically linear, superlinear and critical growth. New methods and results thereof will enrich the theory of variational methods and the theory of elliptic equations, while promoting the development of differential equations and dynamical systems, and other related disciplines.

拟线性椭圆型方程是微分方程领域中具有重要实际应用背景的分支。近年来，国内外学者在非线性椭圆型微分方程解的存在性研究方面取得了一些重要的成果。然而，关于拟线性椭圆型方程仍有许多有待研究和探索的重要且困难的问题，如解的多重性、变号性以及集中性等。特别是由于拟线性项的存在，使得利用变分法解决这类问题时有着本质性的困难（如在常见的工作空间上，方程对应的能量泛函的光滑性和紧性都会缺失），故而，对拟线性椭圆型方程解的理论研究又反过来必然推动对变分方法研究的深入。本项目探索发展和利用变分方法研究拟线性薛定谔-泊松系统、拟线性基尔霍夫型方程等拟线性椭圆型方程的变分框架及在不同类型位势函数且非线性项满足次线性、渐近线性、超线性和临界指数增长时方程的正解、基态解、变号解以及解的集中性、收敛性和多重性等。由此产生的新方法和结果必将丰富变分方法理论和椭圆型方程理论，同时促进微分方程与动力系统及其他相关学科的发展。

本项目发展和运用变分方法、上下解方法与拓扑度理论研究拟线性椭圆型微分方程解的存在性及性质。主要研究了拟线性基尔霍夫型方程、拟线性双调和方程、拟线性薛定谔-基尔霍夫型方程、拟线性薛定谔-泊松系统等解的存在性和解的各种性态。系统地解决了运用变分理论研究拟线性微分方程解的定性问题时的一些关键理论和技术难题，尤其是利用变量代换处理拟线性项使得其在Orlicz空间中具有良好的变分框架以及运用Pohozaev流形来处理拟线性薛定谔方程基态解的存在性以及解的多重性问题。进一步，我们也考虑了更一般的拟线性薛定谔方程解的存在性及其性态问题，得到了一系列运用古典变分方法以及单一使用临界点理论所无法获得的新结果，发表论文20多篇。变分方法与拟线性椭圆型微分方程理论的研究是非线性分析与微分方程定性理论及其应用研究的重要课题。近年来，国内外学者围绕变分方法与拟线性微分方程解的存在性及性态的研究做了大量工作，特别是美国、法国等国学者在变分方法与微分方程理论和应用研究方面很活跃。本项目的研究成果对于非线性分析、常微分方程、偏微分方程与无穷维动力系统以及几何分析的理论与应用等相关研究领域 (如量子力学、控制论、数学生态学等) 的发展都具有重要意义。