几类区间映射轨道的组合结构和分形性质

The combinatorial property is important to dynamical systems, and many fractal sets defined by the orbits of dynamical systems are important subjects of Diophantine approximation and fractal geometry. We shall study the combinatorial and fractal properties of the orbits for several classic maps in number theory besides two kind of piecewise monotone interval maps. We shall study the following problems:.1. For cominatorial constructure, we study the forbidden patterns for a class of piecewise monotone maps, and a fine research on the complexity of Lorenz maps with zero entropy..2. For fractal properties, we study the winning property of the set of points with non-dense orbits for a kind of piecewise Holder maps, the Hausdorff dimension of the set defined by approximation to zero with given asymptotic property , and the metric and fractal results on run-length for beta maps..We shall give the fine results on forbidden patterns, winning property, metric and dimension results for some sets of orbits. We shall also improve the results of Schmidt game and large intersection. We shall improve both the results and the tools for these problems.

动力系统轨道的组合性质是动力系统研究的一个重要方面,而由其轨道定义的许多分形集也是丢番图逼近和分形几何的重要研究对象.本项目主要对数论中区间映射以及分段单调映射研究其轨道的组合和分形性质,具体主要研究下面几个方面的内容: .1.关于组合结构,研究轨道在序关系下的的禁止型,零熵Lorenz映射轨道的组合结构以及复杂度的精细刻画..2.关于分形性质,研究分段1+c 阶Holder映射轨道不稠密点在Schmidt game意义下的winning性质,连分数系统下由轨道逼近原点的渐近性质定义集合的Hausdorff维数,beta映射下关于run-length的度量和分形性质..通过对动力系统的轨道在禁止型,复杂度, winning性质和相关分形集的研究,对动力系统进行更精细的刻画,并在此过程中发展相关问题的研究方法和技巧.

动力系统轨道的组合性质是动力系统研究的一个重要方面,而由动力系统的轨道定义的许多分形集也是丢番图逼近和分形几何的重要研究对象.本项目主要研究轨道在序关系下的的禁止型、Lorenz映射轨道的组合结构等组合性质，以及常见数论中区间映射轨道以及字符分布的分形性质。针对轨道的组合性质，我们得到了一类分段单调映射的轨道在序关系下的禁止型、一类Lorenz映射不变集维数的局部常值性、负beta变换满足specification性质集合的大小。在轨道以及字符分布的分形性质上，我们得到了beta变换非稠密轨道的winning性质、beta变换字符run-length的渐近估计、Engel连分数和p-adic连分数字符的增长速度估计。上述问题的解决将有利于推动分形几何与度量数论和动力系统等研究领域间的交叉发展。