状态依赖时滞微分方程动力学研究

The emergence of a large number of differential equation models with state-dependent delays (sd-DDEs) calls for further development of the theory of dynamical system and provides an excellent environment for new theory and new methods because the existing theory of dynamical system cannot be directly applied to the study of sd-DDEs. Based on comprehensive applications of modern mathematics knowledge, we firstly develop theory of bifurcation (including equivariant bifurcation), invariant manifolds, and periodic solutions for sd-DDEs, with emphasis on the dynamics of bifurcated branches, the existence, smoothness and attractivity of invariant manifolds, the number, stability and spatial-temporal patterns of periodic solutions, and so on, in order to form a systematic theory and research methods for the dynamics study of sd-DDEs. In the meantime, we apply the new theory and methods we have established to the study of rich and complicated dynamics of mathematical models described by sd-DDEs, which appear in modern science and engineering technology, in order to build a solid theoretical foundation and provide the methods to solve problems for researchers in applied fields. The study of sd-DDE not only needs the classic theory of dynamical systems, but also calls for other related knowledge including topology, algebra, functional analysis, computational mathematics and so on, cannot only enrich the theory of dynamical systems, but also contribute to novel ideas, new theory and technical methodology in mathematics such as the functional analysis. Most importantly, the study of sd-DDE involves the interaction of different branches of mathematics disciplines, and should be of a great importance in both mathematical theory and applications.

到目前为止已出现了大量的状态依赖时滞微分方程模型，而现有动力系统相关理论却不能直接用于其动力学研究。为此，一方面综合运用现代数学知识，发展状态依赖时滞微分方程（等变）分岔、不变流形及周期解理论，重点研究分岔解支的动力学性质，不变流形的存在性、光滑性和吸引性，以及周期解的个数、稳定性和时空模式等问题，使状态依赖时滞微分方程动力学研究形成一套比较系统的理论和研究方法；另一个方面将新建立的理论和研究方法应用于现代科学及工程技术中一些用状态依赖时滞微分方程描述的数学模型的定性研究，揭示这些模型丰富而复杂的动力学性质，为应用领域的工作者提供一些可靠的理论依据和解决问题的方法。该项目研究既要用到经典的动力系统理论，又要用到拓扑、代数、泛函分析及计算数学等相关知识，不仅可丰富动力系统理论，又可探索数学（尤其是泛函分析）及其交叉应用中的新思想、新理论和新方法，且可使不同数学分支学科之间进行相互交叉与渗透。

该研究项目对一些有代表性的状态依赖时滞微分方程进行系统深入的定性研究，包括解的存在唯一性、解对参数的光滑依赖性、解的有界性与渐近性、平衡点和周期解的存在性、个数与稳定性，时滞对状态的依赖关系对解的长时间性态的影响，以及系统参数和结构变化所引起的分岔现象等；发展了等变拓扑度定理，使之适用于状态依赖时滞微分方程分岔理论研究；发展了不变流形理论，研究了不变流形的几何结构，重点研究了局部不变流形的存在性、光滑性和吸引性；对于某些状态依赖时滞微分系统，通过构造适当的紧状态空间，使得系统的解构成一个连续半流，通过引进离散的Lyapunov 泛函分析了慢振荡解的存在性, 研究发现所有全局慢振荡解所形成的集合构成半流的一个全局吸引子；对于平衡态附近的局部不稳定流形，选取某平衡态的一个充分小的邻域, 将它延拓为一个全局不稳定流形，通过分析该全局不稳定流形的零点集,证明了慢振荡周期解的存在性, 且它正好构成全局不稳定流形的边界；利用不动点定理和喷射性研究了一类二阶状态依赖时滞微分方程的慢振荡周期解存在性；在指数二分假设下，证明了状态依赖时滞微分方程拟周期解的持续存在性；对于某些状态依赖时滞微分方程，证明了拟周期解的存在性和解析性，得到了其不变环面的稳定流形和不稳定流形。在将研究重点放在理论研究的同时，也十分注重对一些典型微分方程模型的动力学研究，例如：具时滞多层网络的模式形成和具双时滞环状网络的奇异性研究、格微分方程行波解研究、薛定谔泊松方程与基尔霍夫方程基态解和半经典解研究、具非局部时滞反应扩散方程稳定性与分岔研究等。迄今为止，项目负责人及其成员已经在国内外发表了有关此项目的研究论文35篇，其中33篇发表在SCI源刊上。另外，现已被SCI刊物接受、即将发表的论文有5篇，在Springer出版社出版专著1部（应用数学科学丛书184卷）。