状态依赖时滞微分方程的长时间动力学研究

The models of state-dependent delay differential equations(sd-DDEs) which is one important branch of functional differential equations, are arising in population dynamics, neural networks, physics, chemistry, automatic control, economic, etc. But the existing theory of dynamical system cannot be directly applied to the study of state-dependent delay differential equations. Some modern mathematical tools will be comprehensively used, such as fixed point theory, comparison principle, Lyapunov function, degree theory, and so on. Some new methods are developed to deal with the long time dynamics of state-dependent delay differential equations, with emphasis on the existence and stability of periodic solutions, in company with the existence, smoothness and attrativity of invariant manifolds, in order to draw out the effect of state-dependent delay on the long time behavior of solutions. This research can not only develop dynamic theories of functional differential equations, but also provide the methods to solve problems for researchers in applied fields, and promote the development of related disciplines.

状态依赖时滞微分方程是泛函微分方程的一个重要分支，目前在种群增长、神经网络、物理、化学、自动控制以及经济等等领域出现了很多模型，而现有动力系统相关理论却不能直接应用于其动力学研究。本项目旨在综合运用不动点理论、比较原理、Lyapunov泛函、度理论等现代数学工具，发展一些适用于状态依赖时滞微分方程的长时间动力学行为研究的新方法，特别是针对周期解的存在性和稳定性，分岔方向，不变流形的存在性、光滑性和吸引性进行分析研究，以此来揭示时滞对状态的依赖关系以及对解的长时间性态的影响。这些研究不仅能发展泛函微分方程动力学理论，也将为应用领域的工作者提供一些可靠的理论依据和解决问题的方法，促进相关领域的发展。

状态依赖时滞微分模型在很多领域已有应用，比如种群增长、神经网络、传染性疾病、细胞繁殖、物理、化学、自动控制以及经济领域等等。相较于常微分方程或是常时滞微分方程，抽象状态依赖时滞微分方程的右端泛函在连续函数空间上不具有 Lipchitz 连续性，因而其相空间具有更加复杂的结构，这给状态依赖时滞微分方程的研究带来很大阻碍。本研究项目对一些有代表性的状态依赖时滞微分方程进行系统深入的定性研究，包括慢周期解的存在性，时滞对状态的依赖关系对解的长时间性态的影响；发展了不变流形理论，研究了不变流形的几何结构，重点研究了局部不变流形的存在性、光滑性和吸引性；对某些状态依赖时滞微分系统，通过构造适当的紧状态空间，使得系统的解构成一个连续半流；通过寻找适当的紧集，构造紧状态空间和后继映射，运用不动点定理和喷射性研究二阶状态依赖时滞微分方程的慢振荡解的存在性。我们把重点放在理论研究的同时，也十分注重对一些典型微分方程的研究，例如：Parabolic微分方程，Cucker–Smale微分方程等，对方程平衡点的稳定性与分岔问题进行了研究，得到了一些分岔条件及其周期解的存在性结论。本项目的研究成果不仅丰富了状态依赖时滞微分的动力学性质，而且为某些领域提供可靠的理论基础。迄今为止，项目负责人及其成员已经在SCI源刊上发表了有关此项目的研究论文3篇，另外有两篇论文正在审稿中。