一类随机均衡约束优化问题的样本均值逼近-正则化方法及其在经济学模型中的应用

The stochastic mathematical program with equilibrium constraints is one of important topics in operational research and optimization. In this project we will consider a class of special stochastic mathematical programs with equilibrium constraints. The difficulty of our problems is that, in the objective function or constraints, the problems include a stochastic mapping which is the expect value of set-value solution mapping of a stochastic complementary problem. Since the stochastic mapping is discontinuous and the property of the solution mapping is similar to the indication function, the problem is difficult to solve. By using regularization method, we obtain the stochastic complementarity problem with good property. Moreover, we apply sample average approximation method to handle uncertainty. In this project we will establish the detailed convergence analysis between the original stochastic mathematical program with equilibrium constraints and its SAA-regularized problem. The efficient algorithm will be proposed for the SAA-regularized problem. Since this class of the problems has wide applications in describing the generalized method of moments problem, the new product pricing problem and price game problem in an important model of economics: the pure characteristics demand model, our project will be very interesting in theory and practice.

随机均衡约束优化问题是运筹学和最优化领域中重要的研究课题之一。本项目拟研究求解一类特殊的随机均衡约束优化问题。这类问题的难点在于：在目标函数或者约束函数中，包含一个特殊的随机互补问题的集值解映射，并且该映射不连续，性质类似于指示函数,使得该问题难以求解。我们拟采用正则化逼近的方法赋予该随机互补问题好的性质,并采用样本均值逼近方法处理问题的不确定性。本项目将详细分析这类包含集值映射的随机均衡约束优化问题和其样本均值逼近-正则化问题之间的收敛性，进一步提出适于求解这类问题的有效算法。由于这类随机均衡约束优化问题广泛用于刻画计量经济学中基于产品性质的需求模型的广义矩估计问题、新产品定价问题及价格博弈等问题，本项目的研究有着重要的理论意义和实际价值。

随机均衡约束优化问题是运筹学和最优化领域中重要的研究课题之一，在经济、金融、管理、工程等领域有着重要的应用。本项目研究了一类在目标函数或者约束函数中，包含一个特殊的不连续的随机互补问题的集值解映射的随机均衡约束优化问题。这类问题由一类计量经济学中用于刻画市场的基于产品性质的需求模型抽象而来，具有很强的应用背景和实用价值。利用这类随机均衡问题的结构性质，本项目提出了针对性的样本均值逼近正则化方法，利用正则化方法赋予该随机互补问题好的性质，克服了这类随机互补问题的集值解映射的不连续性等困难，进一步采用样本均值逼近方法处理问题的不确定性，从而给出了该问题的一个性质较好并易于求解的逼近问题。本项目将该样本均值逼近正则化方法应用于基于产品性质的需求模型的广义矩估计问题、新产品定价问题等问题中，并利用这些问题的不同特性，详细分析了其原问题与样本均值逼近-正则化问题之间的收敛性，并分别提出适于求解这些问题的有效算法。另外，稀疏投资组合近年来成为投资组合问题的一个重要问题。本项目拓展了这类带有均衡约束的随机优化问题的应用范围，将其用在求经典的马科维茨投资组合模型的稀疏解上，给出了一种全新的求解稀疏投资组合问题的方法，并用于实证研究，得到了很好的效果。进一步，本项目为将该模型拓展到分布未知的情况进行了铺垫，即研究了分布鲁棒优化问题的数据驱动问题的收敛性分析、离散化逼近方法和割平面方法等数值解法。为进一步将这些方法拓展到这类随机均衡问题的分布鲁棒问题打下了基础。最后，本项目还研究了大规模优化问题和无约束优化问题的有效算法。这些算法为前面模型的计算求解提供了数值保证。由于这类随机均衡约束优化问题广泛用于计量经济学、投资组合、物流供应链等一系列重要问题，本项目的研究有着重要的理论意义和实际价值。