一类随机广义纳什均衡问题理论与算法研究及其应用

The stochastic generalized Nash equilibrium problem, which is the generalization of the famous Nash equilibrium, describes the problem that each player’s feasible set can depend on the rival players’ strategies, and it lies at the intersection of many different disciplines, such as economics, engineering, traffic equilibrium, electric power market, finance, insurance and so on. This project considers the nonconvex and nonsmooth stochastic generalized Nash equilibrium problems coming from the electric power markets, and the main parts of this project are listed as follows. Firstly, we give the smoothing approximation and the robust model for the stochastic generalized Nash equilibrium problems as the constraints are deterministic, and the robust model can provide the robust Nash equilibrium points or Nash C-stationary equilibrium points of the stochastic generalized Nash equilibrium problem. We also analyze the properties of the model, such as the existence of Nash equilibrium points or Nash C-stationary equilibrium points, convergence, robustness and so on. Secondly, we employ the expected residual minimization problem to study the stochastic generalized Nash equilibrium problem as the constraints are defined by the random variables. We analyze the properties of the model, such as the convexity, smoothness, existence of Nash equilibrium points or Nash C-stationary equilibrium points, convergence, robustness and so on. Lastly, we design an efficient algorithm to solve the models and use it to solve the problems coming from the electric power markets, such as bidding strategies for damand-side, electricity model and so on. This project can provide the theoretical and numerical results for the smart grid.

随机广义纳什均衡问题是经典纳什均衡问题的一种推广，它能够描述不确定环境下参与者决策集合依赖于其他参与者决策的博弈现象，在现代经济、工程、交通运输、电力市场、金融保险等领域有广泛应用。本项目针对电力市场产生的一类非凸非光滑随机广义纳什均衡问题进行研究，主要内容包括：首先建立约束集合在确定情况下该问题的光滑近似问题和稳健纳什均衡点（或Clarke纳什均衡稳定点）的求解模型，并分析其理论性质，如解的存在性、收敛性、稳健性等；进一步构建剩余函数，建立约束集合带有随机变量时该问题的期望剩余最小模型，并分析模型的理论性质，如模型的凸性、光滑性、解的存在性、收敛性、稳健性等；最后设计这些模型的快速高效的数值算法，求解不确定环境下电力市场中需求侧竞标问题和电力生产分配问题等，为电力市场的安全经济运行提供决策依据。

本项目针对于随机广义纳什均衡问题，以非光滑分析，最优化理论以及随机变分不等式等为基础，从随机优化问题的模型建立与算法的设计与分析入手，重点研究了以下几个方面的内容：(1) 基于随机变分不等式的剩余函数和非光滑分析，建立了求解随机广义纳什均衡问题的期望剩余最小模型，分析了模型的理论性质和求解方法；（2）对于约束中带有随机变量的随机广义纳什均衡，我们研究了求解模型和转化后模型的求解方法；（3）基于非光滑分析，建立了一类求解带有盒子约束的非光滑优化问题的求解算法，分析了迭代算法的最坏复杂性；（4）针对于电力市场的竞价模型，其决策变量受随机变量的影响，我们利用分布鲁棒技术，对其进行理论分析得到了转化后的可求解模型；（5）基于Lie对称分析，对于工程中的一类方程问题进行了分析和求解。. 本项目获得了以下有意义的结果：（1）建立了随机广义纳什均衡问题的求解模型，分析了模型的性质和不同模型下的解的条件风险值。同时，在适当的条件下，分析了随机函数的梯度一致性，并且得出了满足这些条件的一类随机广义纳什均衡问题；（2）对于带有随机变量约束的随机广义纳什均衡问题，我们采用罚函数和光滑化的技术对其进行处理，数值模拟验证了我们处理技术的有效性；（3）对于带有盒子约束的非光滑问题，我们建立了光滑化的二次正则化算法，该算法的子问题具有显式解，我们给出了算法的收敛性和最坏复杂度；（4）对于电力市场中的分布鲁棒的竞价模型，利用条件风险值函数对其进行处理，将其分为增标和减标两种情况分别讨论，该模型可以降低电力市场的运行成本，其转化后的模型利于求解；（5）对于种群生长中一类问题，我们运用了Lie对称对其进行分析求解，得到了该类方程的解和性质。. 本项目的完成，一方面，丰富和发展了随机广义纳什均衡问题的理论和求解方法，另一方面为电力市场和工程科学中的应用提供了理论支持。