有限域上的置换多项式和组合零点定理的应用

Permutation polynomials and combinatorial Nullstellensatz are hot topics in finite fields and combinatorics. We will construct permutation polynomials over finite fields and study the applications of combinatorial Nullstellensatz in this program. Firstly, by using linear translators and Frobenius translators, we will generalize several classes of permutation polynomials; Secondly, we will characterize the classification of indecomposable exceptional rational functions over finite fields, then get some permutation polynomials by using Zieve lemma; Finally, we will study the applications of combinatorial Nullstellensatz for multisets in combinatorics, especially in the generalized Cauchy-Davenport Theorem.

置换多项式和组合零点定理是有限域和组合学中的热点研究问题。本项目将主要致力于构造有限域上的置换多项式和探索组合零点定理的应用。首先，利用线性传递子和Frobenius传递子推广几类现有的置换多项式；其次，通过对有限域上不可分例外有理函数的分类研究，利用Zieve引理来构造置换多项式；最后，探索多重集上的组合零点定理在组合中的应用，特别是在广义Cauchy-Davenport定理上的应用

设S是有限Abel群G上的一个序列，用k(S)表示S的所有项的阶的倒数和。称k(S)为S的cross number。如果S是零和序列且k(S)<=1, 我们称S为G上的一个微零和序列（tiny zero-sum sequence）. 如果S是零和的且长度不超过exp(G) (exponent of G) 则称S 是G上的一个短零和序列（short zero-sum sequence）. 容易知道，微零和序列一定是短零和序列。我们研究微零和子列和短零和子列的存在条件。从经验看这一过程可能用到多项式方法和群环方法。.....用t(G)表示满足下面条件的最小正整数d，G上的每一个长度不小于d的序列一定包含一个微零和子列；用η(G) 表示满足下面条件的最小正整数d，G上的每一个长度不小于d的序列一定包含一个短零和子列。Giarad猜想对所有秩为2的有限Abel群有t(G)= η(G)。..目前只对极特殊的G人们证明了上述猜想。我们对所有满足阶的所有不同素因子的倒数和小于1的秩为2的有限Abel群证实了上述猜想。