混沌及分形理论在复杂网络动力学研究中的应用

本项目的研究内容主要包括：（1）复杂网络中的自相似结构对网络传播及同步等动力学行为的影响，探讨简单结构与复杂动力学之间的内在联系。（2）各种网络结构的动力学行为过程中出现的分岔、震荡与混沌现象。根据网络动力学行为预测网络内部结构及未来行为走势。（3）研究复杂网络中节点的初始状态与网络最终状态之间的联系，着重考虑演化过程对网络性质的影响方面。（4）将以上三方面的问题推广到具有社团结构的复杂网络研究中。.项目的研究意义在于通过将分形与混沌理论应用于复杂网络的研究中，发展和充实关于复杂网络研究的理论基础，又为混沌学在复杂网络同步动力学、传播动力学等工程、经济、医学方面的应用提供更为广阔的发展空间。

本项目的研究主要分成两个部分来进行：一是关于复杂网络中出现混沌有关理论的研究工作；一是关于相关理论在具体复杂网络应用中的工作。. 有关混沌理论研究工作中，项目组主要工作如下：.1. 在项目的资助下出版了学术专著《映射迭代与混沌动力系统》，科学出版社。本专著中涵盖了大量项目组的前期工作和研究成果。.2. 研究了离散动力系统的混沌动力学行为，讨论了时间半群上的混合性和按序列分布混沌的关系；证明了拓扑弱混合蕴涵按序列分布混沌。.3. 有限型区间自映射是指如果限制在非游荡集上该映射与一个有限型子移位拓扑共轭。我们证明了对于任意给定的开区间(0,1)上的实数s，都存在有限型自映射使得：映射非游荡集的Hausdorff维数是s；限制在非游荡集上该映射是多种不同定义下的混沌并研究了混沌点集与回复点集之间的关系。.4. 研究了时间变化系统下的分布混沌。在有限维线性时间变化系统下给出了一个按序列分布混沌的例子，并且该系统不是DC1和DC2。并且也证明了对于两个一致拓扑共轭的时间变化系统具有相同的按序列分布混沌和拓扑混合性质。.5. 证明了在3-进位系统中存在由几乎周期点构成的不可数分布混沌集，进而得到该系统是Devaney混沌和Wiggins混沌的。.6. 将Marotto的snap-back repeller定理推广到了一般度量空间，并应用该结果证明了具有snap-back repeller的连续映射是分布混沌的。. 有关复杂网络应用中，项目组主要成果如下：.1.研究了Henon映射的参数之间的关系，还讨论了由不同的耦合网络和Henon映射产生的混沌。从模拟结果中，发现随着参数的增加，将产生一个混沌的的Henon映射。同时，在耦合网络中出现从非混沌到混沌的过渡。.2. 在复杂动态网络中，混沌是一个普遍关注的问题。我们发现，从非混沌状态到混沌状态过程中，在网络中的每个节点上的节点和度越大，耦合强度的值较小。.3．作为推广形式Marotto定理在复杂网络的应用，撰写了题为"Snap-back repeller and chaos in transiently chaotic neural network"论文已投稿。.本项目的开展在丰富了混沌理论的同时，又为混沌理论在复杂网络中的应用提供了理论基础，无论在理论意义，还是在实际应用上都体现了较为突出的价值。