复杂网络中的分形研究及在网络一致性中的应用

The study, which discusses the fractal structures of weighted networks, gives us a new idea to explore the networks’ global properties by considering their local structures. In part (1), we study complex networks by using fractals and fractal-related methods. Time series is simulated by using the subshift of finite type, and is mapped to weighted networks. The relation between the Hausdorff dimension of the set by the method of incremental-edge embedding and the scale-free indicator of the network is studied. The mean weighted first-passage time and mixing time are estimated by using the Laplacian spectral gap. Then we give the Hausdorff and packing dimensions of level sets for walk in probability, and study the multifractal spectrum of the measure supported on complex networks. In part (2), we calculate the indicators of some weighted fractal networks, such as the average weighted trap time, the first order and second order coherence. We want to get analytic expressions of those indicators by using topological structure of the weighted fractal networks. We then deduce fractal dimension relating the weighted factor. Consequently, we naturally expect to obtain the power law relationships between the fractal dimension and one of performance indicators, and to design high-performance weighted networks. In part (3), we first deduce the box dimensions for several classes of recursively generated weighted fractal networks. Then we search the gauge function and explore the relationships among the box dimension, Hausdorff dimension and growth dimension. These problems are closely related to fractals, complex networks and dynamical systems. By completing these project, we will develop some new ideas and methods in fractals research.

对复杂网络分形结构的研究可以为复杂网络理论提供通过局部结构探讨网络整体性质的一种新思想。(1)分形及其相关方法研究复杂网络。用有限型子位移模拟时间序列，构造加权网络，考察网络的无标度指标与以增长边嵌入到平面生成的嵌入集的豪斯道夫维数之间的联系，并借助拉普拉斯矩阵的谱隙，估计平均权重首达时间和混合时间，推导依概率行走下水平集的豪斯道夫维数与填充维数,研究复杂网络上的支撑测度的重分形谱。(2)利用网络的拓扑结构，计算几类加权分形网络的平均权重陷阱时间以及一阶与二阶一致性指标。理论推导受权重因子影响的分形维数，研究维数与性能指标之间的幂率关系，设计高性能的加权网络。(3)寻找网络的量纲函数。理论推导几类加权分形网络的盒子维数、豪斯道夫维数与增长维数及它们之间的大小关系。这些问题与分形、复杂网络及动力系统密切相关。通过对这些问题的研究，将丰富和发展分形的思想和方法。

大量的实际网络具有分形的特征，研究发现网络的一些重要参数满足幂律，尽管幂律不等同于网络的分形结构，但它提示网络具有某种满足上述幂律的分形结构。对复杂网络分形结构的研究可以为复杂网络理论提供通过局部结构探讨网络整体性质的新思想。(1)分形及其相关方法研究复杂网络。根据实际网络中节点的重要性与节点间相互作用的强弱引入边权或点权，在偏好游走下研究水平集的重分形分析，得到的水平集的豪斯道夫维数和填充维数和Besicovitch定理结论一致。借助拉普拉斯矩阵的谱隙，估计平均权重首达时间和混合时间，推导依概率行走下水平集的豪斯道夫维数与填充维数；考察网络的一些重要参数的比率作为概率测度的重分形谱；利用自相似测度与权重因子探讨了分形网络的加权平均测地距离。（2）两类带陷阱的依权游走。一类是标准依权重游走，另一类是混合依权重游走。基于网络的递推结构，巧妙地得到了上下代平均加权首达时间的递推关系式，得到用于测量捕获过程效率的平均捕获时间与权重因子、加权网络的谱维数有关。我们提出的递推算法大大降低了计算复杂度以及对存储空间的需求，适用于求解大规模网络的标准拉普拉斯谱性质。（3）第一次返回时间的均值和方差的标度性质。我们利用概率母函数及其性质来计算指定中心(即最相关节点)的第一次返回时间均值和方差，得到了第一次返回时间的均值和方差的标度性质。（4）一阶与二阶一致性指标。探讨由递归方式生成的加权分形网络的分形维数精确表达式，我们利用网络的递归关系，得到了网络一致性的解析式，并讨论该网络一致性关于网络规模的幂律，研究维数与性能指标之间的幂率关系。这些问题与分形、复杂网络及动力系统密切相关。通过对这些问题的研究，将丰富和发展分形的思想和方法。