非凸锥优化的扰动分析与均衡锥优化问题

科技和经济领域中许多具有重大科学价值和实用价值的问题都是非凸锥优化问题，比如控制论，移动通讯和编码等领域中出现的很多核心问题都是非凸半定规划或其它非凸锥优化问题。国际上，凸的锥优化的内点方法的研究非常成功，但非凸锥优化的研究工作才刚刚开始，因此深入系统研究非凸锥优化领域中的扰动分析理论和均衡锥优化问题意义重大。本项目基于已有的对称锥的变分分析和非凸对称锥约束优化的最优性理论，建立非凸锥优化的扰动分析理论。内容包括最优性条件系统的强正则性和强稳定性的刻画，约束集值映射和投影映射的coderivative的计算，最优解集值映射的Aubin性质的刻画等，并把得到的理论用于建立均衡锥优化问题的最优性理论（比如M-稳定点的coderivative条件），用于研究锥优化约束，锥互补约束与锥变分不等式约束的均衡锥优化问题的M-稳定点的光滑Newton方法，以推进锥约束优化理论和算法的研究进展。

本项目研究了锥约束最优化扰动理论以及锥均衡约束优化问题的重要专题，取得的主要成果可概述如下:..1. 建立谱范数定义的矩阵锥优化问题的最优性理论,包括约束非退化条件的刻画, 一阶二阶必要性条件和二阶充分性条件。建立了这类锥优化问题的扰动分析, 包括KKT 系统的强正则性刻画的等价条件,等等。..2. 建立了对称矩阵的特征向量矩阵的扰动分析, 基于特征向量矩阵的一阶展开讨论了对称矩阵的任意特征值函数的二阶方向可微性并给出了二阶方向导数的具体表示式。得到对称矩阵FB函数的方向导数公式和B-次微分公式。..3. 建立了二阶锥均衡约束优化的最优性条件,包括各种稳定点的定义以及这些稳定点之间的关系的研究。..4. 基于互补集合的切锥的公式,建立了半定矩阵锥均衡约束优化的最优性条件。..5. 提出QVI约束的数学规划问题,二阶锥参数广义方程约束的优化问题以及半定矩阵锥互补约束的数学规划问题的光滑牛顿法。