锥不等式系统和优化问题的逼近解及其扰动分析

In this project, we will investigate the perturbation behavior of conic inequality systems and conic constraint optimization problems in Banach space and/or some Riemannian manifolds by virtue of the information around its approximate solutions. By exploiting the constructive technique and numerical analysis methods, incorporated with convex analysis, smooth and nonsmooth analysis, we will establish some quantitative results on error bounds for approximate solutions, solution sets of the perturbated conic inequality systems and/or the perturbated conic contraint optimization problems. Moreover, we also establish quantitative results on the continuity properties of the solution mappings, including the upper/lower semicontinuity and the Lipschitz-like continuity properties. Meanwhile, we will analyze the sensitivity and stability of some important numerical methods, such as the Newton-like methods and the regularization methods, for solving the conic inequality systems and/or conic constraint optimization problems, and will further apply our theoretical results to some important problems arising from applied areas.

本项目通过分析锥不等式系统和优化问题的逼近解附近的信息来研究Banach空间以及某些Riemannian流形上锥不等式系统和带锥不等式约束的最优化问题及其扰动性问题. 运用构造性思想和数值分析方法，结合现代凸分析，光滑和非光滑分析技巧建立关于逼近解的误差界估计，扰动锥不等式系统和优化问题的误差界估计以及解集映射关于目标函数和约束域扰动的连续依赖性，特别包括上半连续，下半连续以及Lipschitiz类连续性的定量结果. 同时，本项目还研究求解锥不等式系统和优化问题的一些重要数值方法，比如牛顿类方法和正则化方法等的敏感性问题，从而建立这些算法的稳定性结果，并将我们得到的理论结果应用到一些重要的实际应用问题.

锥不等式系统和带锥不等式约束的最优化问题的误差界性质及其扰动性问题是优化领域中一个重要研究课题。另外，随着现代应用科学的发展，不具有线性结构的问题不断涌现，因此黎曼流形上的优化与逼近问题的研究也变得越来越重要。本项目研究并建立了Banach空间以及某些黎曼流形上关于逼近解的误差界估计，扰动锥不等式系统和优化问题的误差界估计，解集映射关于目标函数和约束域扰动的连续依赖性以及无限凸优化问题的弱锐极小解性质等。同时，本项目还研究了包括结构稀疏优化问题、复合凸优化、多目标优化问题以及逆特征值问题等重要数学优化模型的数值求解算法，并建立了这些算法的收敛结果和稳定性分析。进一步地，我们研究并建立了流形上优化问题的数值求解及相关算法的收敛性分析。最后，我们将以上研究结果应用到一些重要的实际问题中，如生物信息学的基因调控网络预测问题与通信中的无线传感器网络定位问题。我们的部分研究成果已在国内外学术期刊上发表，这其中包括了在国际顶级学术杂志SIAM J. Optim., SIAM J. Numer. Anal., Inverse Problem和J. Mach. Learn. Res.上发表的八篇重要论文。特别需要指出的是，本项目的研究成果改进并推广了数学优化领域一些已有成果且部分成果具有原创性。我们的研究推动了Banach空间和黎曼流形上的优化理论的发展，在理论与应用上都有重要的科学意义。