芬斯勒流形上若干分析问题的研究

Harmonic function, heat equation and integral inequality are very important issuses in geometric analysis, which have been studied intensively and comprehensively in Riemannian geometry. However, due to the nonlinear of Laplacian and the nonreversibility of Finsler metrics on Finsler manifolds, the problem becomes more complicated. This project aims to study the corresponding topic on Finsler manifolds. Firstly, we will establish some Liouville type theorems of harmonic function and elliptic inequalities on Finsler manifolds. Secondly, we will discuss the uniqueness and Gaussian estimates of the solution to the heat equation. Then we will study Hardy inequality and Rellich inequality on general Finsler manifolds. The research of this project can be viewed as a generalization and development of corresponding topics on Riemannian manifolds. The main purpose is to enrich and improve theoretical results in global Finsler geometry and explore new ideas and methods.

调和函数、热方程和积分不等式是几何分析中的重要研究课题。在黎曼几何中，这些问题得到了广泛而深入的研究，然而由于芬斯勒流形上的Laplace算子的非线性及芬斯勒度量的不可反性，使得问题变得更加复杂。本项目主要研究芬斯勒流形上的相应问题。首先，我们将建立芬斯勒流形上调和函数和椭圆不等式对应的Liouville型定理；其次，我们将探讨芬斯勒流形上热方程解的唯一性定理及高斯估计；最后，我们将研究一般芬斯勒流形上的Hardy和Rellich不等式。本项目的研究是黎曼流形上相应问题的推广和延伸，旨在充实和完善整体芬斯勒几何的理论成果，探索新的方法和思路。

流形上的不等式研究是几何分析中的重要研究课题。在黎曼几何中，这些问题得到了广泛而深入的研究，然而由于芬斯勒流形上的Laplace算子的非线性及芬斯勒度量的不可反性等现象，使得问题变得更加复杂。本项目主要研究了芬斯勒流形上的相应问题。首先，我们建立了芬斯勒流形上调和函数和椭圆不等式对应的Liouville型定理，并给出芬斯勒流形上p-下（上）调和函数的Hardy不等式，以及加权Ricci非负的闭流形上的Hardy不等式；其次，给出了在任意测度下一般的芬斯勒流形上的测不准原理（Heisenberg–Pauli–Weyl不等式）；然后，研究了Busemann–Hausdorff测度和Holmes–Thompson测度下，Wei–Petersen的积分曲率，并给出了相关的体积比较定理以及一个Myers定理；最后，给出了芬斯勒流形谱的一种定义，并得到所有类维数函数诱导出来谱的上界可以由权重Ricci曲率以及流形的直径完全控制，而下界的话也可以利用Ricci曲率、一致常数和直径控制。本项目的研究是黎曼流形上相应问题的推广和延伸，旨在充实和完善整体芬斯勒几何的理论成果，探索新的方法和思路。