复芬斯勒流形的几何分析

The purpose of this project is to study and solve some widely concerned and currently unsolved problem, including (1) the construction, classification and characterization of strongly pseudoconvex complex Finsler metrics whose holomomorphic curvatures satisfy some special conditions（such as holomorphic curvatures are nonzero constants) and the complex Finsler version of uniformization theorem; (2) the relationships among the geometry, topology and curvatures of complex manifolds which admit strongly convex complex Finsler metrics; (3) the related applications of curvatures of complex Finsler metrics in complex algebraic geometry, especially in complex Finsler-Einstein vector bundles and in holomorphic jet bundles; (4) the global differential geometric properties of strongly convex Kahler Finsler manifolds and its various kinds of submanifolds.

本项目旨在研究并解决复芬斯勒流形上一些被广泛关注、但目前尚未解决的问题，包括（1）全纯曲率满足某些特殊条件（如全纯曲率为非零常数）的强拟凸的复芬斯勒度量的构造、分类和刻画以及复芬斯勒度量版本的单值化定理；（2）容许强凸的复芬斯勒度量的复流形的几何、拓扑与复芬斯勒度量的各种曲率之间的关系；（3）复芬斯勒度量的曲率在复代数几何中的应用，尤其是在复芬斯勒爱因斯坦向量丛和全纯喷射丛中的应用；（4）容许强凸的凯勒芬斯勒度量的复流形及其各种子流形的整体微分几何性质。

在本课题中，我们主要研究了复芬斯勒流形的以下几何分析方面的问题：首先是强凸的弱凯勒芬斯勒度量、弱的复Berwald度量、实的Berwald度量、实的 Landsberg度量之间的关系; 复芬斯勒向量丛和Aikou意义下的弱的爱因斯坦-芬斯勒向量丛的关系； U(n)-不变的强凸的复芬斯勒度量; 全纯向量丛的射影丛上的凯勒度量的存在性; 不是来自共形变换的复Berwald度量的构造及其性质; 强凸的射影平坦的和对偶平坦的复芬斯勒度量; 积复芬斯勒流形上的复芬斯勒度量的构造及其性质。..首先，在F是复流形上的强凸的弱凯勒芬斯勒度量的假设下，我们证明了 F 是弱的复Berwald度量当且仅当F 是一个实的Landsberg度量，并显式给出了一个强凸的凯勒芬斯勒度量的例子，它同时既是复Berwald度量，复Landsberg度量, 实的Berwald 度量, 实的Landsberg度量. 我们证明了一个Hermitian流形上的Aikou意义下的、弱的复爱因斯坦-芬斯勒向量丛一定是一个模复闵可夫斯基空间。我们研究了 U(n)-不变的强凸的复芬斯勒度量并得到U(n)-不变的复芬斯勒度量是强凸的充分必要条件。我们证明了一个 U(n)-不变的强凸的复芬斯勒度量是一个复Berwald度量的充分必要条件是它为一个Hermitian度量，我们得到了任意一个U(n)-不变的、强拟凸的复芬斯勒度量的全纯曲率计算公式并研究了它在复欧氏空间单位球面上的实测地线的性质。 我们研究了复欧氏空间的Hilbert第四问题，即刻画实测地线为直线的强凸的复芬斯勒度量，我们得到一个有趣的结果，即一个强凸的复芬斯勒度量是射影平坦的或对偶平坦的充分必要条件是它是一个强凸的复闵可夫斯基空间。这个结果与实芬斯勒几何中的相应问题形成鲜明对比，它反映了底复流形上的复结构与其上的复芬斯勒度量相容时必须满足的刚性性质。我们研究了一类复Berwald度量，它既不是来自一个复闵可夫斯基度量的共形变换，也不是来自一个Hermitian二次型度量。我们给出了具有迷向全纯截曲率的复Berwald度量的刻画，给出了这类度量为凯勒芬斯勒度量（弱凯勒芬斯勒度量） 的刻画. 最后，我们研究了两个积复流形上的积复芬斯勒度量，并得到它们为 （弱）凯勒芬斯勒度量, (弱) 复Berwald度量, 复Landsberg度量的充分必要条件.