（伪）黎曼-芬斯勒子流形几何若干问题研究

本项目主要研究（伪）黎曼-芬斯勒子流形几何中的若干问题。（伪）黎曼子流形方面，围绕黎曼流形或伪黎曼流形中具有平行平均曲率的子流形或类空子流形刚性性质与分类问题展开研究，着重关注超曲面几何，研究具有常高阶平均曲率超曲面的构造、曲率与拓扑及稳定性问题，以及位置向量满足一定条件的子流形的分类等。芬斯勒子流形方面，以芬斯勒体积形式为基础，选择合适的体积形式，研究芬斯勒子流形的变分问题与稳定性，寻求刻划子流形性质的几何不变量，推广黎曼子流形的相应结果，并构造新的例子。（伪）黎曼子流形几何是经典微分几何研究的重要内容，而芬斯勒子流形几何作为前者的推广，尚在起步阶段，有许多基本问题期待人们作进一步研究与探索，因此本项目研究前景广阔，对于人们认识黎曼流形及芬斯勒流形的整体性质与结构具有重要意义。

芬斯勒几何就是没有二次型限制的黎曼几何。20 世纪末以来，芬斯勒几何越来越受到人们的重视，发展迅猛，并且已在控制论、相对论等方面得到应用。本项目围绕（伪）黎曼-芬斯勒子流形几何学及流形的曲率与拓扑关系展开研究，得到系列成果。主要结果概述如下：. 1、子流形几何方面，研究空间形式中具有两个不同非单主曲率的超曲面，在不假定超曲面具有常（高阶）平均曲率的情形下，得到若干刚性结果； 研究了余辛空间形式中的反不变极小伪平行子流形的全测地性, 以及近凯莱流形中一般子流形的淹没等问题，得到若干结果。. 2、流形的曲率与拓扑方面，建立了各种不同曲率条件（逐点曲率条件、积分曲率条件、加权曲率条件等）下的体积比较定理，由此研究芬斯勒流形基本群、第一贝蒂数等与曲率的关系，其中大多数结果即使对黎曼流形情形也是新的成果。对于具有非负利齐曲率的完备黎曼流形，得到两个与Milnor猜想有关的结果。 . 项目进展期间，共发表研究论文14篇（其中1篇目前尚在网上出版阶段），其中SCI检索论文11篇，出版学术著作1部，顺利完成预期目标。