非线性阻尼波方程及其耦合系统解的性态研究

This project focuses on the behavior of solutions to the nonlinear wave equation with time-space dependent damping and to a system coupling the Navier-Stokes equations and a damped wave equation. For the damped wave equation, the aim of this project is to investigate diffusion phenomena of the damped wave equation with the source semilinear term, that is, the solution to the damped wave equation will tend to that of the heat equation when time goes to infinite, under the condition that the potential varies slowly or decays at a critical speed. Precisely speaking, we plan to show the global existence for the small initial data in the supercritical case by the weighted energy method, and that some large initial data will produce the blow-up solution, by the method of differential inequality, which implies that the assumption of small initial data is essential to the global existence. Moreover, in the subcritical and critical cases, we plan to prove that the time-global solution to the damped wave equation does not exist even for some small initial data. All of the results mentioned above implies that the damped wave equation of this type still has the diffusion phenomena. Besides, for the coupled system, the aim of this project is to show the global existence for the small initial data with less regularity and its decay rate, by following the methods in the field of Navier-Stokes equations, such as the fixed point method, together with the methods and results in the field of the damped wave equation.

本项目主要研究非线性阻尼波方程及其与Navier-Stokes方程组的耦合系统解的性态。对于阻尼波方程，本项目的主要目标是在阻尼项系数随时空缓慢变化或随空间以临界速度变化的条件下确定含溢出项的阻尼波方程是否仍具有扩散现象。具体来说，本项目拟将运用加权能量法来证明超临界情形下小初值解的全局存在性，并通过微分不等式法等方法来证明某些大初值所产生的解必将在有限时间内爆破，从而说明小初值对解全局存在性结果的必要性。而在临界及次临界情形下，本项目拟将证明即使初值足够小，只要满足一定条件，其所产生的解也必将在有限时间内爆破。上述结果将说明阻尼波方程与相应的热方程具有类似的解的性态，从而说明阻尼波方程仍具有扩散现象。而对于耦合系统，本项目拟结合阻尼波方程以及Navier-Stokes方程组两个领域中的研究方法和手段，证明当小初值只具备较弱正则性时，系统仍存在全局强解，并对其衰减性进行分析。

在本项目中，我们主要研究非线性阻尼波方程解的性态。众所周知，在热传导速度是无限的理想条件下，我们可用热方程来描述物体的热传导过程。但在现实世界中，理想条件并不成立，热传导总是会有一定的延迟性，此时由物理模型推导而出的即是阻尼波方程。由此物理背景，我们可以期望阻尼波方程的解具有扩散现象，即当时间趋于无穷时，阻尼波方程的解将趋向于相应扩散方程的解。本项目主要考虑阻尼项系数依赖于时间的阻尼波方程。在阻尼项系数随时间以临界速度变化时，我们证明阻尼波方程的解在次临界情形下爆破。为了证明这个结论，我们引入改进的Bessel函数作为测试函数，并由该测试函数，我们得到了相应泛函更好的下界估计。通过迭代估计，不断得到更优的下界估计，从而证明解将在有限时间内爆破，并得到解的存在时间的上界估计。而在临界情形下，我们进一步改进测试函数，证明测试函数具有更好的性质；运用测试函数更好的性质，得到方程解的泛函所满足的微分不等式，在此基础上利用微分不等式法来证明解也将在有限时间内爆破，并得到解存在时间的上界估计。上述结果显示，在阻尼项系数随时间以临界速度变化时，阻尼波方程解的性态不再与相应的扩散方程类似。此外，我们还研究了一系列随机浅水波方程的适定性和大偏差原理，以及运用动力系统的理论和方法研究了一系列非线性偏微分方程，如Ito5阶mKdV方程等的行波解。