关于非线性阻尼波方程解的长时间行为的研究

In this project, we will investigate the existence and property of global attractor for wave equation with nonlinear damping. Firstly, we overcome the difficulties brought by the nonlinearity with supercritical exponent and the nonlinear damping term to establish the well-posedness of Shatah-Struwe solution and some delicate estimates, and study the existence of global attractor; secondly, we investigate properties of the global attractor for wave equation with nonlinear damping with Lyapunov functional, using critical point theory and index theory, show that the existence of multiple equilibrium points in global attractor and the fractal dimension of global attractor can be infinite.This project is significant for us to understand deeply the existence and geometry of global attractors for damped wave equation.

本项目拟研究非线性阻尼波方程全局吸引子的存在性及其性质等相关问题。首先，克服非线性项满足超临界指数以及阻尼项是非线性函数带来的困难，建立Shatah-Struwe解的适定性以及精细的估计，研究方程全局吸引子的存在性；其次，研究具有Lyapunov泛函的非线性阻尼波方程全局吸引子的性质，利用临界点理论和指标理论，在适当的条件下证明非线性阻尼波方程全局吸引子里多重平衡点的存在性以及分形维数可以是无穷大。本项目的研究对深入认识耗散型波方程吸引子存在性及其几何性质有着重要的理论和现实意义。

本项目研究了带有阻尼项的波方程吸引子的存在性及其性质等相关问题。主要侧重以下几个方面的工作：(1) 克服了非线性项满足临界增长条件给半群紧性带来的困难，证明了带有记忆项的耗散波方程吸引子的存在性；(2)克服了非线性项满足超临界指数以及阻尼项是非线性函数带来的困难，建立了Shatah-Struwe解的适定性以及精细的估计，证明了方程全局吸引子的存在性；(3) 研究了具有Lyapunov泛函的强阻尼波方程全局吸引子的性质，利用临界点理论和指标理论，在非线性项满足临界增长条件下证明了强阻尼波方程全局吸引子里多重平衡点的存在性以及分形维数可以是无穷大。