倒向随机Volterra积分方程及其应用

This research program is devoted to investigating backward stochastic Volterra integral equations and their applications in stochastic control, partial differential equations and time-inconsistency problems. When the control coefficient in the cost functional is indefinite matrix, by introducing a class of stochastic Fredholm-Volterra integral equations, a new kind of open loop representation of optimal control in linear quadratic problems for stochastic Volterra integral equations is derived, as well as the well-posedness for a class of coupled forward-backward stochastic Volterra integral equations. As to the linear quadratic problem for stochastic differential equations, a new kind of feedback optimal control is derived, as well as the equivalence with the classical Riccati case under suitable conditions. A new kind of backward stochastic equations and a new class of partial differential equations are introduced respectively, hence the Feynman-Kac formula for the former equations is obtained which shows one important application of backward stochastic Volterra integral equations in the field of partial differential equations. When studying a class of time-inconsistent control problem for forward-backward stochastic Volterra integral equations, time consistent equilibrium solutions and a new kind of partial differential equations satisfied by the corresponding equilibrium value function are proposed, as well as the corresponding notion of viscosity solutions. At last some comparisons with classical case are demonstrated.

本项目旨在进一步深入研究倒向随机Volterra积分方程及其在随机控制，偏微分方程及时间不一致性问题中的应用。当指标泛函中控制变量系数为非正定矩阵时，引入一类随机Fredholm-Volterra积分方程,得到随机Volterra积分方程线性二次控制问题的一种新的最优控制开环表示及一类耦合正倒向随机Volterra积分方程解的适定性；研究随机微分方程的线性二次控制问题，得到一种新的最优控制反馈表示及其在适当条件下与经典Riccati方程反馈表示的等价性；分别引入一类新的倒向方程和一类新的偏微分方程，建立关于前者的Feynman-Kac公式，从而体现倒向随机Volterra积分方程在偏微分方程理论中的应用；研究一类具有时间不一致特性的正倒向随机Volterra积分方程的控制问题，引入时间一致均衡解和均衡值函数所满足的一类偏微分方程，讨论相应粘性解的存在唯一性，最后与经典情形作比较。

众所周之，随机微分方程的最优控制理论在金融，统计，生物，物理等许多领域发挥重要作用。在这一过程中，由Pardoux和彭实戈引入的非线性倒向随机微分方程起到了主导作用。然而现实生活中，由于随机微分模型在描述问题时过于理想化，故需引入更一般的随机Volterra系统。若对其最优控制理论进行研究，则需利用倒向随机Volterra积分方程。 .本项目深入研究了倒向随机Volterra积分方程的相关理论及其在随机控制，偏微分方程，时间不一致性控制问题中的应用。系统建立倒向随机Volterra积分方程解的比较定理理论，并与殊倒向随机微分方程的研究作比较，揭示了若干新现象；研究了线性随机Volterra积分方程的二次最优控制问题，通过引入一类随机Freholm-Volterra积分方程得到最优控制的等价刻画；利用凸变分方法，集值分析理论，通过引入新对偶方法，分别研究了正倒向随机Volterra系统在凸控制区域，闭控制区域下最优控制存在的必要条件；通过引入并讨论一类新偏微分系统，给出了倒向随机Volterra积分方程适应鞅解的表示定理，建立相应的Feynman-Kac 公式；研究了一类时间不一致的二次最优控制问题，给出了开环均衡解，闭环均衡解的统一处理，揭示了两者的区别和联系。