倒向重随机Volterra积分方程及其相关理论

This project aims to thoroughly study the theory of backward doubly stochastic Volterra integral equations and related fields, solving a series of important theoretical problems, and to study the frontier scientific questions arising in their applications in financial mathematics, especially such as time-inconsistent risk measures, stochastic controls and games, and quantitative investment. Due to lack of Ito formula in the theory of backward stochastic Volterra integral equations at present, many important theoretical results were not available. Therefore we will try to look for some functional types of Ito formula to make a breakthrough, in order to study the backward doubly stochastic Volterra integral equations and their stochastic control and games problems, and to further solve a series of basic scientific problems in the theory of backward doubly stochastic Volterra integral equations, including forward-backward doubly stochastic Volterra integral equations, and related stochastic partial differential equations, especially their stochastic control problems. We will establish the theory of the existence, uniqueness and properties of their solutions and the maximum principles for their stochastic optimal control problems. We also will investigate the numerical simulations of backward doubly stochastic Volterra integral equations and the related stochastic partial differential equations, and discuss their applications in the field of financial mathematics.

本项目旨在深入研究倒向重随机Volterra积分方程理论及其相关领域，解决其中一系列重要的理论问题，并研究其在金融数学，特别是时间非一致性的风险度量、随机控制与对策、量化投资等前沿应用中的科学问题。因为目前倒向随机Volterra积分方程理论中缺乏适用的Ito公式，导致很多重要结果难以获得，我们将尝试用泛函型的Ito公式突破这个瓶颈，进而研究倒向重随机Volterra积分方程及其刻画的随机系统的控制问题、对策问题，解决倒向重随机Volterra积分方程，包括正倒向耦合的重随机Volterra积分方程，以及相关的随机偏微分方程理论中的一系列基础科学问题，特别是其相应的随机控制问题，建立解的存在性、唯一性、多解性等理论和随机最优控制问题的最大值原理，研究倒向重随机Volterra积分方程及其相关的随机偏微分方程的随机计算问题，探讨倒向随机积分系统在金融数学等领域中的应用。

本项目系统深入地研究了倒向重随机Volterra积分方程理论及相关领域的理论和应用问题，取得了一系列重要突破，已经在国内外学术刊物上发表论文39篇，其中SCI收录论文30篇，EI收录论文5篇，申请发明专利4项。项目负责人和主要成员应邀在国内外学术会议和高校做邀请报告20余次。.本项目主要创新性工作包括：.（1）为倒向重随机Volterra积分方程引进了一种新的解，即对称鞅解（SM解）并得到了这种解的存在唯一性。研究了平均场下、带随机跳跃等情形下的倒向重随机微分方程和正倒向重随机微分方程的定解条件、最优控制问题和对策问题。.（2）获得了无穷时空的正倒向随机微分方程和无穷时空的正倒向双重随机微分方程的定解条件及其与相应的偏微分方程或随机偏微分方程的关系，得到了一类非线性（随机）Feynman-Kac公式。.（3）利用Malliavin分析研究了随机系数的倒向重随机微分方程的定解问题及相应的随机偏微分方程，获得了一种非马氏情形下的非线性随机Feynman-Kac公式。利用泛函型Ito公式，研究了轨道依赖的正倒向双重随机微分方程及其相应的轨道依赖的随机偏微分方程，获得了一类非马氏情形下的非线性随机Feynman-Kac公式。.（4）研究了均方场下的正倒向重随机微分方程及其相关的随机微分对策；带延迟的倒向重随机系统的非零和微分对策问题；均方场下分数维布朗运动驱动的（超前）倒向随机微分方程解的定解问题及其随机控制问题。.（5）深入研究了倒向重随机微分方程的计算问题，引进了深度神经网络计算方法，获得了高维完全耦合的正倒向双重随机微分方程的深度神经网络计算方法，从而能够计算高维的PDE和SPDE。.此外，本项目还扩展了很多研究，包括与疫情相关的研究结果发表在SSCI一区的杂志上。受资助期间，项目负责人和项目组主要成员获得了山东省自然科学奖二等奖和国家统计科学技术进步奖三等奖等奖励。本项目培养毕业硕士生47名，博士生4名，博士后1名。.总之，本项目超额完成了研究任务，在多个领域取得突破，为后续的研究打下了重要基础。