非光滑 Lipschitz 连续函数优化束方法与应用

Optimization problems with Lipschitz continuous functions are of great importance in both theory and practice, for examples, a large number of nonsmooth problems in optimal control and practical problems arising from engineering fields (such as the anti-sesmic problems) are Lipschitz continuous optimization problems. Based on the foundations of convex analysis and variational analysis,this project aims at construting implementable numerical algorithms with high efficiency for Lipschitz continuous optimization. The main research work includes: (1)Construct theoretical framework of bundle methods for Lipschitz continuous optimization by using UV decomposition theory of general differential, which includes the design of algorithms and the analysis of convergence. (2)For piecewise linear functions, construct new approximation models by utilizing the approximate function values and subgradients, and construct corresponding numerical algorithms by adjusting or redefining linearization errors and by combining subgradient deletion rules with subgradient locality measures. At the same time, we also discuss the rate of convergence. (3)Apply the results of Lipschitz continuous optimization to several theoretical and practical problems, which includes: study safe evaluation technology for concrete dam by applying nonsmooth bundle methods to hydro-structure anti-seismic fields, solve the auxiliary optimization problems arising from variational inequalities by utilizing the cutting plane approximate idea of bundle methods, constuct implementable bilevel bundle methods for special type mathematical programs with equilibrium constraints. The results achieved in this project will make contributions to the development of theory and numerical methods of nonsmooth optimization.

非光滑Lipschitz连续函数优化问题具有重要理论和应用价值，如最优控制中的大量非光滑问题以及工程领域大量的实际问题（如大坝抗震问题）均是Lipschitz函数优化问题。本课题以凸分析、变分分析为基础，致力于Lipschitz连续优化的高效可执行有效算法的研究。主要内容包括：(1)利用广义微分的UV分解理论，构造Lipschitz函数优化束方法的理论框架，包括算法设计，收敛性分析。(2)对分片线性函数，利用函数非精确信息构建新型近似模型，并结合次梯度删除、度量准则，调整或重新定义线性化误差, 构造相应数值算法，并讨论收敛速度。(3)将取得的上述成果用于解决几个理论与实际问题，包括: 利用束方法求解变分不等式中辅助优化问题；构造求解特殊均衡约束规划问题的可执行双层束方法；利用束方法研究混凝土大坝抗震安全问题。本课题取得的成果将对非光滑最优化理论与数值方法的研究起到促进作用。

非光滑Lipschitz连续函数优化问题覆盖众多具体问题，如工程领域大量的实际问题（如大坝抗震问题）均是Lipschitz函数优化问题。解决这类非光滑优化问题非常值得关注的一种方法就是束方法，它是一种可执行的高效算法，与其它方法比较，它被认为是求解非光滑优化问题的最有效和最有前景的方法之一.此外，束方法在各类实际问题中也有具体应用，这方面的研究已悄然成为最优化问题研究中的一个热点课题。对非光滑最优化问题的理论和算法展开研究，构造出恰当的优化算法以解决生活实际问题，是我们科研工作者从事这方面研究工作的主要目的。在项目执行的三年间，项目组成员致力于非光滑Lipschitz连续函数优化束方法的基础理论研究及其在实际问题中的具体应用研究。共发表论文15篇，其中5篇被SCI检索，1篇发表在《数学进展》上（中国数学会主办，北京大学数学科学学院承办核心期刊）。对于一般凸规划，我们将改进函数和拟牛顿束方法相结合，提出了一种不可行拟牛顿束方法；考虑具有分离结构的凸问题，我们给出了一种建立在切平面基础上的交替线性化方法。对于Lipschitz连续函数优化，将迫近控制，水平约束和切平面方法相结合，我们提出一种切平面水平束方法；在目标和约束函数都是非凸情况下，借助惩罚函数将原约束问题转化成无约束问题，之后对罚函数进行局部凸化处理，在添加特殊的约束规格之后，惩罚函数是精确的，并且算法产生序列收敛到问题的K-T点。我们将使用重新分配技巧的迫近束方法进行非精确扰动，构建的非凸 Lipschitz 函数的切平面模型不再是目标函数的整体近似，而是一个局部的凸化，这种局部凸化可保证产生的线性化误差非负，从而克服由非凸带来的收敛性分析中遇到的困难。此外，我们还探讨了束方法在各类实际问题中的应用，如在变分不等式中的应用，在支持向量机方面的应用等。本项目研究成果将为非光滑Lipschitz连续函数优化问题的解决提供一种具有坚实理论基础的有效求解途径。