指数和方法在Piatetski-Shapiro素数上的应用

Piatetski-Shapiro primes are the prime numbers of the form [n^c]. It essentially represents the primes of the form polynomials of degree from 1 to 2 in one variable. Most people investigate the distribution of Piatetski-Shapiro primes, since it is the intermediate problem of the primes of the form polynomials of degree 2. The research of Piatetski-Shapiro primes relies on the method of exponential sums. In this project, the applicant will focus on the application of Decoupling method to the Van der Corput method of exponential sums, in order to refine the Piatetski-Shapiro prime number theorem. The applicant will also investigate the primes and prime gaps on the intersection of several Piatetski-Shapiro sequences by applying the new Selberg sieve.

Piatetski-Shapiro素数是形式为[n^c]的素数，本质上是形式为单变量幂次介于1和2之间的多项式的素数，是解决形式为单变量二次多项式的素数分布这一数论重要问题的桥梁，历来得到了大量数论专家的关注。因为指数和方法是处理Piatetski-Shapiro素数问题的关键技术，所以本项目将运用Decoupling理论完善Van der Corput形式的指数和方法，在二型和估计上取得突破，从而对Piatetski-Shapiro素数定理作出实质改进。同时，本项目还将研究多个Piatetski-Shapiro数列上的素数以及连续素数对的分布问题，融合Maynard的新Selberg筛法，最终给出定量估计。

Piatetski-Shapiro素数是解决形式为单变量二次多项式的素数分布这一数论重要问题的有效逼近手段，具有重要的研究意义。本项目着重研究Piatetski-Shapiro序列与素数、Beatty序列、算术级数、k次幂、平方数、素数平方、殆素数、Lehmer数、连续素数等重要数论概念的联系，有效揭示了Piatetski-Shapiro序列的性质，对特殊素数序列的理论开发有一定的促进作用。在本项目的资助下，共计6篇论文发表于国际SCI期刊，1篇论文发表于国内核心期刊，4篇论文已投稿国际SCI期刊，另有1篇论文即将完成并投稿。与预定研究计划相关的主要研究内容及成果具体如下：.1）本项目研究了算术级数上的Piatetski-Shapiro素数分布，改进了定量估计，渐近公式的主项不变，改进了余项估计，并把渐近公式的常数适用范围由18/17改进为12/11，有效增强了算术级数上的Piatetski-Shapiro素数的定量估计的适用性。.2）本项目研究了多个Piatetski-Shapiro序列交集中的素数的定量估计，改进了Baker的经典定理的常数的适用范围。在该研究中，项目组改进了多维Van der Corput指数和估计方法，对后续工作有一定的推动作用。.3）本项目给出了有限多个Beatty序列的交集中的Piatetski-Shapiro素数的定量估计，在前人的单个Beatty序列与Piatetski-Shapiro序列的研究基础上，改进了其定理的适用范围，使常数的取值范围由14/13改进为12/11。.在本项目的资助下，我们按照预定计划研究了Piatetski-Shapiro素数的性质，在主要研究内容方面均取得一系列成果，顺利完成项目的预定计划。